Question

Решить однородное дифференциальное уравнение

Answer 1

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, сводящееся к однородному:
$y' = \frac{x-2y-1}{x+y+1} \\\begin{cases}\alpha-2\beta-1=0\\\alpha+\beta+1=0\end{cases}\\-3\beta-2=0\\\beta=-\frac{2}{3}\\\alpha=-\frac{1}{3}\\x=\hat{x}-\frac{1}{3}\\y=\hat{y}-\frac{2}{3}\\d(\hat{x}-\frac{1}{3})=d(\hat{x})\\d(\hat{y}-\frac{2}{3})=d(\hat{y})$
$> <img src=$

$> <img src=$
И окончательный ответ:
$ln|x+\frac{1}{3}|-(\frac{\sqrt{13}-13}{26})ln|\frac{2(3y+2)}{3x+1}+3+\sqrt{13}|+\\+(\frac{\sqrt{13}+13}{26})ln|\frac{2(3y+2)}{3x+1}+3+\sqrt{13}|=C$

Answer 2

Для решения однородного дифференциального уравнения необходимо сначала выразить производную неизвестной функции и разделить переменные. Затем проинтегрировать обе стороны уравнения и найти постоянную интеграции.

Допустим, у нас есть однородное дифференциальное уравнение вида:

dy/dx = f(x)y

Где f(x) - это некоторая функция от x.

Для решения данного уравнения мы можем разделить переменные, выразив все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x, на другую сторону:

dy/y = f(x)dx

Затем проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y)dy = ∫f(x)dx

После интегрирования получим:

ln|y| = ∫f(x)dx + C

Где С - постоянная интеграции.

Теперь найдем выражение для y, взяв экспоненту от обеих сторон уравнения:

y = e^(∫f(x)dx + C)

Таким образом, мы решили однородное дифференциальное уравнение и нашли общее решение для функции y.