Question

Используя метод введения новый переменной решите уравнение (x^2+4)^2+(X^2+4)-30=0 (1-x^2)+3,7(1-x^2)+2,1=0

Answer 1

1)
(x²+4)²+(х²+4)-30=0

Пусть
(х²+4) = у
(х²+4)² = у²

тогда уравнение примет вид:
у² + у - 30 = 0

ОДЗ:  y > 0

D = b² - 4ac
D = 1 - 4 · 1 · (-30) = 1+120 = 121
√D = √121 = 11
y₁ = (-1 + 11)/2 = 10/2 = 5
y₂ = (-1 - 11)/2 = -12/2 =  - 6 не удовлетворяет ОДЗ

Так как (х²+4) = у, то при у = 5 находим х.
х² + 4 = 5
х² = 5 - 4
х² = 1
х = √1
х₁ = 1
х₂ = - 1 
Ответ: {- 1; 1}


2) 
(1-x²)+3,7(1-x²)+2,1=0

Пусть 
(1-х²) = t

тогда уравнение примет вид:
t + 3,7t + 2,1 = 0

ОДЗ:  t > 0

4,7t + 2,1 = 0
4,7t = - 2,1
t = - 2,1 : 4,7
t = -  ²¹/₄₇ отрицательное значение не удовлетворяет ОДЗ
Ответ: корней нет


Но если первая скобка во второй степени, то решение ниже
(1-x²)²+3,7(1-x²)+2,1=0

Пусть 
(1-х²) = t
(1-х²)² = t²

тогда уравнение примет вид:
t² + 3,7t + 2,1 = 0

ОДЗ:  t > 0

D = b² - 4ac
D = 13,69 - 4 · 1 · 2,1 = 13,69 - 8,4 = 5,29
√D = √5,29 = 2,3
t₁ = (-3,7 + 2,3)/2 = -1,4/2 = - 0,7 не удовлетворяет ОДЗ
t₂ = (-3,7 - 2,3)/2 = -6/2 =  - -3 не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: корней нет

Answer 2

Для решения уравнения (x^2+4)^2 + (x^2+4) - 30 = 0 + (1-x^2) + 3,7(1-x^2) + 2,1 = 0 сначала разберемся с первым уравнением.

Обозначим x^2+4 за переменную t. Тогда уравнение примет вид t^2 + t - 30 = 0. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

D = 1^2 - 4*1*(-30) = 121 t1,2 = (-1 ± √121)/2 = (-1 ± 11)/2

Итак, t1 = 5, t2 = -6.

Теперь подставим обратно x^2+4 вместо t.

Для t1: x^2+4 = 5 => x^2 = 1 => x1 = 1, x2 = -1 Для t2: x^2+4 = -6 => x^2 = -10 => нет решений

Теперь рассмотрим второе уравнение.

1-x^2 + 3,7(1-x^2) + 2,1 = 0 1-x^2 + 3,7 - 3,7x^2 + 2,1 = 0 -2,7x^2 - 2,8 = 0 -2,7x^2 = 2,8 x^2 = -2,8/-2,7 x^2 ≈ 1,04 x1,2 ≈ ±1,02

Итак, решениями системы уравнений будут x1 = 1, x2 = -1, x3 ≈ 1,02, x4 ≈ -1,02.