Question

8cos x=sec x + √3 * csc x

Answer 1

Sec(x) = 1/cos(x); csc(x) = 1/sin(x).
8*cos(x) = ( 1/cos(x) ) + ( (V3)/sin(x) ),
ОДЗ.  cos(x) не=0 и sin(x) не=0.
Делаем замену:
cos(x) = u,
sin(x) = v.
Тогда у нас есть система:
{ 8*u = (1/u) + ( (V3)/v ),
{ u^2 + v^2 = 1.
8*u - (1/u) = ((V3)/v),
v = (V3)/( 8u - (1/u) ) = (V3)*u/( 8*u^2 -1),
1 = u^2 + v^2 = u^2 + ( (V3)*u/( 8*u^2 -1) )^2 = 
 = u^2 + ( 3*u^2/(8*u^2 -1)^2 ),
( 8*u^2 - 1)^2 = u^2*( 8*u^2 -1)^2 + 3*u^2;
u^2 = t,
t = cos^2(x),
0<=t<=1,
(8t -1)^2 = t*(8t-1)^2 + 3t,
64*t^2 - 16t + 1 = t*( 64*t^2 - 16t + 1) + 3t,
64*t^2 -16t + 1 = 64*(t^3) - 16*(t^2) + 4t,
64*(t^3) + t^2*( -16-64) + t*(4+16) - 1 = 0;
64*(t^3) -80*t^2 + 20 t - 1 = 0;
64 = 4^3;
(4t)^3 - 1 - 20t*(4t-1) = 0;
(4t - 1)*( (4t)^2 + 4t + 1 ) - 20t*(4t -1) = 0;
(4t-1)*( 16t^2 + 4t + 1 - 20t) = 0;
(4t -1)*( 16t^2 - 16t +1) = 0;
4t -1 =0 или 16*(t^2) - 16t + 1 = 0;
1) t = 1/4,
cos^2(x) = 1/4,
cos^2(x) = (1+cos(2x))/2 = 1/4,
1+cos(2x) = 1/2,
cos(2x) = -1/2,
....
2) 16*(t^2) - 16t + 1 = 0;
D/4 = 8^2 - 16 = 64 - 16 = 48 = 16*3 = 3*(4^2).
t1 = (8 - 4*(V3) )/16 = (2 - V3)/4;
t2 = (8+4*(V3))/ 16 = (2 + V3)/4.
....
дорешайте сами, я устал печатать.

Answer 2

Я могу помочь вам решить тригонометрические уравнения и упростить тригонометрические выражения. Ваш вопрос можно переписать как:

$$8\cos x = \frac{1}{\cos x} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sin x}$$

Чтобы решить это уравнение, нужно привести все слагаемые к общему знаменателю и преобразовать тригонометрические функции к синусам и косинусам. Получим:

$$8\cos^2 x - 1 - \sqrt{3} \cdot \cos x \cdot \sin x = 0$$

Затем нужно использовать формулы двойного угла и привести уравнение к виду:

$$4(2\cos^2 x - 1) - \sqrt{3} \cdot \sin 2x = 0$$

$$4\cos 2x - \sqrt{3} \cdot \sin 2x = 0$$

Это уравнение можно решить методом подстановки или методом выделения полного тригонометрического многочлена. В данном случае мы будем использовать второй метод. Для этого нужно выразить $\cos 2x$ и $\sin 2x$ через $\tan x$ и применить формулу:

$$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$$

$$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$$

$$\tan^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \tan x - \frac{1}{2} = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$, которое можно решить с помощью формулы корней:

$$\tan x = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}}{1}$$

$$\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{или} \quad \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Отсюда можно найти все решения уравнения в заданном интервале. Они будут иметь вид:

$$x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi$$

где $k$ - любое целое число.

Вы можете проверить свой ответ с помощью онлайн-калькуляторов, например [Symbolab](https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-identity-proving-calculator) или [Mathway](https://www.mathway.com/trigonometry). Они также могут показать вам подробные шаги решения и график уравнения. Надеюсь, это было полезно для вас. Спасибо, что пользуетесь Bing.