Question

Найти градиент функции f(x,y)=( -x^3-6*x^2*y-6*x*y^2-3*x*y) в точке М(-4;4)

Answer 1

$f(x,y)=-x^3-6x^2y-6xy^2-3xy\; ,\; M(-4;4)\\\\f'_{x}=-3x^2-12xy-6y^2-3y\\\\f'_{y}=-6x^2-12xy-3x\\\\f'_{x}(-4,4)=-48+192-96-12=36\\\\f'_{y}(-4,4)=-96+192+12=108\\\\\overline {gradf(x,y)}\, |_{M(-4,4)}=36\overline {i}+108\overline {j}$

Answer 2

Для нахождения градиента функции f(x, y) = -x^3 - 6x^2y - 6xy^2 - 3xy в точке M(-4, 4), мы сначала найдем частные производные функции по переменным x и y, а затем подставим значения координат точки M в эти частные производные.

Частная производная по переменной x (df/dx): Для этого возьмем производную функции f(x, y) по x, считая y константой: df/dx = -3x^2 - 12xy - 6y^2 - 3y

Частная производная по переменной y (df/dy): Теперь возьмем производную функции f(x, y) по y, считая x константой: df/dy = -6x^2 - 12xy - 12xy - 3x

Теперь подставим значения координат точки M(-4, 4): df/dx = -3(-4)^2 - 12(-4)(4) - 6(4)^2 - 3(4) = -48 + 192 - 96 - 12 = 36 df/dy = -6(-4)^2 - 12(-4)(4) - 12(4)(-4) - 3(-4) = -96 - 192 + 192 + 12 = -84

Таким образом, градиент функции f(x, y) в точке M(-4, 4) равен (36, -84).