Question

Известно,чтоcos (pi/6 + t) +cos (pi/6 - t) = p Найдите cos (pi/4 + t ) cos (pi/4 - t).

Answer 1

Упростим выражения, используя формулы косинуса суммы и разности двох углов.   

1)соsp/6 . cost-sinp/6 . sint+cosp/6. cost+sinp/6 . sint=2cosp/6cost=2.кор.кв.3/2 . cost=кор.кв.3cost.Это выражение по условию равно  р.  cost=p/кор.кв.3.

2)=соs(p/4+t)sin(p/4 +t)=(sin2(p/4+t))/2=sin(p/2+2t)/2=cos2t/2. cos2t=cos*t-sin*t=

=(p/кор.кв.3)*-(3-p*)/3=(2p*-3)/3  (sin*t=1-cos*t=1-p*/3=(3-p*)/3/) , cos2t/2=(2p*-3)/6 

(При упрощении второго выражения использовала, что косинус одного угла  равен  синусу дополнительного угла до90 градусов и формулу синуса двойного угла;  * это квадрат).

Answer 2

Используем формулу сложения для косинуса: cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)

Применяем эту формулу к выражению cos(pi/6 + t) + cos(pi/6 - t): cos(pi/6 + t) + cos(pi/6 - t) = 2 * cos(pi/6) * cos(t)

Так как cos(pi/6) = √3/2, то cos(pi/6 + t) + cos(pi/6 - t) = √3 * cos(t)

По условию дано, что cos(pi/6 + t) + cos(pi/6 - t) = p, поэтому √3 * cos(t) = p cos(t) = p / √3

Теперь найдем выражение для cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t): cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = (cos(pi/4) * cos(t) - sin(pi/4) * sin(t)) * (cos(pi/4) * cos(t) + sin(pi/4) * sin(t)) cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = (1/√2 * cos(t) - 1/√2 * sin(t)) * (1/√2 * cos(t) + 1/√2 * sin(t)) cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = 1/2 * (cos(t)^2 - sin(t)^2)

Так как sin(pi/4) = cos(pi/4) = 1/√2, то cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = 1/2 * (cos(t)^2 - (1 - cos(t)^2)) cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = 1/2 * (2 * cos(t)^2 - 1) cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = cos(t)^2 - 1/2

Таким образом, выражение для cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) равно: cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = cos(t)^2 - 1/2 Подставляем значение cos(t) = p / √3: cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = (p^2 / 3) - 1/2

Итак, мы нашли выражение для cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t): cos(pi/4 + t) * cos(pi/4 - t) = (p^2 / 3) - 1/2