Question

Решите неравенства 1) log2(x+3)>log3(2x-15) 2) log0,2(x+3)>log0,2(2x-15)

Answer 1

Решение
1) log₂ (x+3) > log₂ (2x-15)
ОДЗ: x + 3 > 0, x > - 3
2x - 15 > 0
x > 7,5
x ∈ (7,5 ; + ∞)
так как 2 > 1, то
x + 3 > 2x - 15
x < 18
С учётом ОДЗ
x ∈ (7,5 ; 18) 
Ответ: x ∈ (7,5 ; 18) 
2) log0,2(x+3)>log0,2(2x-15)
ОДЗ: x + 3 > 0, x > - 3
2x - 15 > 0
x > 7,5
x ∈ (7,5 ; + ∞)
так как 0 < 0,2 < 1, то
x + 3 < 2x - 15
x > 18
x ∈ (18 ; + ∞)
Ответ: x ∈ (18 ; + ∞)

Answer 2

Давайте решим данные неравенства по очереди.

1) Неравенство: log2(x+3) > log3(2x-15)

Для начала, заметим, что оба логарифма находятся в разных основаниях. Чтобы упростить неравенство, мы можем использовать свойство логарифма, которое гласит: log_a(b) > log_a(c) эквивалентно b > c, при условии a > 1.

Применяя это свойство, мы можем переписать неравенство в следующем виде: x+3 > 3^(log3(2x-15))

Теперь нам нужно решить это неравенство. Для начала, найдем область допустимых значений x, которые удовлетворяют неравенству внутри логарифма. Так как основание логарифма равно 3, мы должны учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным: 2x-15 > 0 2x > 15 x > 7.5

Теперь у нас есть ограничение на переменную x: x > 7.5.

Теперь мы можем решить само неравенство. Для этого применим свойство логарифма еще раз, чтобы избавиться от логарифма: x+3 > 3^(log3(2x-15)) x+3 > (2x-15)

Решим это неравенство: x+3 > 2x-15 x-2x > -15-3 -x > -18 x < 18

Таким образом, мы получили два ограничения на переменную x: x > 7.5 и x < 18.

2) Неравенство: log0.2(x+3) > log0.2(2x-15)

Аналогично первому неравенству, заметим, что оба логарифма находятся в разных основаниях. Мы можем использовать свойство логарифма: log_a(b) > log_a(c) эквивалентно b > c, при условии 0 < a < 1.

Применяя это свойство, мы можем переписать неравенство в следующем виде: x+3 > (2x-15)

Решим это неравенство: x+3 > 2x-15 x-2x > -15-3 -x > -18 x < 18

Таким образом, ограничение на переменную x в данном неравенстве также является x < 18.

Итак, решение данных неравенств: 1) x > 7.5 и x < 18 2) x < 18

Объединяя эти два неравенства, мы получаем окончательное решение: 7.5 < x < 18