Question

Lim n-8 (1/1*2+1/2*3+...+1/(n-1)n

Answer 1

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{1}{1\cdot2}+ \frac{1}{2\cdot3}+ \frac{1}{3\cdot4}+...+ \frac{1}{(n-1)\cdot n} \bigg)=\\ \\ \\ =\lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{2-1}{1\cdot2}+ \frac{3-2}{2\cdot3}+ \frac{4-3}{3\cdot4}+...+ \frac{n-(n-1)}{(n-1)\cdot n}\bigg)=\\ \\ \\ =\lim_{n \to \infty} \bigg(1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}- \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4} +...+ \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n} \bigg)=\\ \\ \\ =\lim_{n \to \infty} \bigg(1- \frac{1}{n}\bigg)=1-0=1$

Answer 2

Для решения данного выражения, давайте разберемся с суммой внутри скобок. У нас есть следующая сумма:

1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/(n-1)*n

Эта сумма может быть переписана в виде:

(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/(n-1) - 1/n)

Обратите внимание, что каждый член в скобках может быть записан в виде разности двух дробей, где числитель равен 1 и знаменатель изменяется от 1 до n.

Типичные шаги решения

1. Разложим каждое слагаемое в сумме на разность двух дробей. 2. Приведем каждую дробь к общему знаменателю. 3. Соберем все числители вместе и упростим, если это возможно.

Давайте начнем:

1. Разложим каждое слагаемое на разность двух дробей:

1/1*2 = (1/1) - (1/2) 1/2*3 = (1/2) - (1/3) ... 1/(n-1)*n = (1/(n-1)) - (1/n)

2. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

Для этого нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей. В данном случае, знаменатель будет равен произведению всех чисел от 2 до n:

2 * 3 * ... * (n-1) * n

3. Соберем все числители вместе и упростим:

(1/1) - (1/2) + (1/2) - (1/3) + ... + (1/(n-1)) - (1/n)

Заметим, что все дроби вида (1/2), (1/3), ..., (1/n-1) являются общими слагаемыми и сокращаются. Остается только первое и последнее слагаемое:

1 - (1/n)

Таким образом, исходное выражение Lim n->8 (1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/(n-1)*n) равно 1 - (1/n).

Результат

Итак, ответ на данное выражение Lim n->8 (1/1*2 + 1/2*3 + ... + 1/(n-1)*n) равен 1 - (1/n).