Question

Решите уравнение cos2x=cosx-1 . Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку [0;2п].Правильный ответ 4п.

Answer 1

И снова здравствуйте =)

cos2x=cos^2x-sin^2x

sin^2x+cos^2x=1

 

Answer 2

Давайте решим уравнение cos(2x) = cos(x) - 1 более подробно.

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду Для начала заметим, что cos(2x) = 2cos²(x) - 1, используя формулу двойного угла для косинуса. Тогда уравнение принимает вид: 2cos²(x) - 1 = cos(x) - 1

Шаг 2: Перенос всех элементов в одну сторону Теперь вычитаем cos(x) и добавляем 1 к обеим сторонам уравнения: 2cos²(x) - cos(x) = 0

Шаг 3: Факторизация Факторизуем выражение, чтобы найти корни уравнения: cos(x)(2cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые могут равняться нулю: 1) cos(x) = 0 2) 2cos(x) - 1 = 0

Шаг 4: Нахождение корней 1) Первый множитель cos(x) = 0 имеет корни в виде x = π/2 + kπ, где k - целое число. 2) Второй множитель 2cos(x) - 1 = 0 можно решить следующим образом: 2cos(x) = 1 cos(x) = 1/2 Это уравнение имеет корни в виде x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Шаг 5: Нахождение суммы корней в промежутке [0;2π] Теперь найдем сумму корней, которые принадлежат промежутку [0;2π]. Для этого учтем все значения x, которые находятся в этом промежутке: x = π/2, π/3, 5π/3, 3π/2

Сумма этих корней равна: π/2 + π/3 + 5π/3 + 3π/2 = 4π

Таким образом, правильный ответ составляет 4π.