Question

Найдите точки разрыва функции f(x)=3^(1/x)/(3^(1/x)-9), исследуйте их характер, постройте эскиз функции в окрестностях найденных точек.

Answer 1

F(x)=$3^{1/x} /( 3^{1/x} -9)$
х≠0   и  $3^{1/x \neq 9}$⇒1/x≠2⇒x≠1/2
D(y)∈(-∞;0) U (0;1/2) U (1/2;∞)
х=0 и х=1/2 точки разрыва
$y=1+9/( 3^{1/x}-9 )$
Строим у= $9/ 3^{1/x}$,ось оу сдвигаем  на 9 единиц влево,ось ох на единицу вниз

Answer 2

Функция f(x) = 3^(1/x)/(3^(1/x)-9) имеет точки разрыва в точках, где знаменатель обращается в ноль, то есть при 3^(1/x) = 9. Решая это уравнение, мы получаем x = -1/2.

Точка разрыва в x = -1/2 является вертикальной асимптотой функции f(x). В этой точке функция имеет бесконечный разрыв.

Теперь исследуем характер точки разрыва в x = -1/2. Для этого анализируем пределы функции f(x) при приближении x к -1/2 справа и слева.

Предел f(x) при x->-1/2 справа: lim(x->-1/2+) f(x) = 3^(1/(-1/2)) / (3^(1/(-1/2)) - 9) = 3^(-2) / (3^(-2) - 9) = 1/(1-9) = -1/8

Предел f(x) при x->-1/2 слева: lim(x->-1/2-) f(x) = 3^(1/(-1/2)) / (3^(1/(-1/2)) - 9) = 3^(-2) / (3^(-2) - 9) = 1/(1-9) = -1/8

Таким образом, пределы справа и слева равны и конечны, что говорит о том, что точка разрыва в x = -1/2 является разрывом второго рода.

Теперь построим эскиз функции в окрестностях точки разрыва. Функция имеет вертикальную асимптоту в x = -1/2 и приближается к ней при увеличении |x|. В окрестности этой точки функция имеет форму гиперболы, которая стремится к вертикальной асимптоте.

Таким образом, мы исследовали точки разрыва функции f(x) = 3^(1/x)/(3^(1/x)-9), определили их характер и построили эскиз функции в их окрестностях.