Question

Задача Диофанта . Докажите , что произведение двух чисел , каждое из которых есть сумма двух квадратов , само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов (a²+b²)^(c²+d²)=(a^c+b^d)²+(b^c-a^d)²; (a²+b²)^(c²+d²)=(a^c-b^d)²+(b^c+a^d)².

Answer 1

A = a^2 + b^2
B = c^2 + d^2
Обозначим:
C1 = abs(ac - bd)
D1 = ad + bc
C2 = ac + bd
D2 = abs(ad - dc)
Здесь abs - абсолютная величина (модуль)
Тогда AB = C1^2 + D1^2 = C2^2 + D2^2 
Точно незнаю правильно или нет))

Answer 2

Для доказательства данной задачи воспользуемся формулой разложения суммы двух квадратов:

(a²+b²)^(c²+d²) = (a^c+b^d)² + (b^c-a^d)².

Для начала рассмотрим первое слагаемое (a^c+b^d)². Заметим, что это выражение представляет собой сумму двух квадратов, так как a^c и b^d - это числа, каждое из которых представляет собой сумму двух квадратов (например, a^c = x²+y² и b^d = z²+w²). Тогда (a^c+b^d)² также можно представить в виде суммы двух квадратов.

Теперь рассмотрим второе слагаемое (b^c-a^d)². Аналогично, это выражение также представляет собой сумму двух квадратов.

Таким образом, мы доказали, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:

(a²+b²)^(c²+d²) = (a^c+b^d)² + (b^c-a^d)².

Аналогично, можно доказать и второе равенство:

(a²+b²)^(c²+d²) = (a^c-b^d)² + (b^c+a^d)².

Таким образом, задача Диофанта доказана.