Question

Докажите,что если последовательность (xn)-геометрическая прогрессия,то x1*x15=x10*x6

Answer 1

Допустим, что последовательность xn - геометрическая прогрессия и q - её знаменатель. Тогда x15=x1*q¹⁴, x10=x1*q⁹, x6=x1*q⁵, x1*x15=x1*x1*q¹⁴=x1²*q¹⁴, x10*x6=x1*q⁵*x1*q⁹=x1²*q¹⁴. Отсюда следует x1*x15=x6*x10.  

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение, используя математическую индукцию.

Для начала, предположим, что последовательность (xn) является геометрической прогрессией. Это означает, что каждый элемент последовательности можно получить умножением предыдущего элемента на постоянное число q, которое называется знаменателем прогрессии.

Итак, у нас есть последовательность (xn), которая является геометрической прогрессией. Будем считать, что x1 - это первый член последовательности, а q - знаменатель прогрессии.

Базовый случай: Проверим, выполняется ли утверждение для n = 1. То есть, нужно проверить, что x1 * x15 = x10 * x6.

Поскольку последовательность (xn) является геометрической прогрессией, мы можем записать:

x10 = x1 * q^9 x6 = x1 * q^5

Тогда утверждение принимает вид:

x1 * x15 = x10 * x6 x1 * x15 = (x1 * q^9) * (x1 * q^5) x1 * x15 = x1^2 * q^14

Шаг индукции: Теперь предположим, что утверждение выполняется для некоторого k, то есть x1 * x(15+k) = x(10+k) * x(6+k). Нам нужно доказать, что оно выполняется и для k+1.

Имеем:

x1 * x(15+k+1) = x(10+k+1) * x(6+k+1)

Учитывая, что x(10+k+1) = x(10+k) * q и x(6+k+1) = x(6+k) * q, мы можем записать:

x1 * x(15+k) * q = (x(10+k) * q) * (x(6+k) * q)

Теперь используем предположение индукции, чтобы заменить x1 * x(15+k) на x(10+k) * x(6+k):

(x(10+k) * x(6+k)) * q = (x(10+k) * q) * (x(6+k) * q)

Замечаем, что оба выражения равны, следовательно, утверждение выполняется и для k+1.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение x1 * x15 = x10 * x6 выполняется для всех натуральных чисел n.

Это доказывает, что если последовательность (xn) является геометрической прогрессией, то x1 * x15 = x10 * x6.