Question

5^(2x+1)+4×5^(x)-1>0.

Answer 1

Ответ в рриложении ₩¥£€£¥₩££

Answer 2

Для того чтобы решить неравенство \(5^{2x+1} + 4 \times 5^x - 1 > 0\), мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте начнем с введения новой переменной. Пусть \(y = 5^x\). Тогда неравенство примет вид:

\[5^{2x+1} + 4 \times 5^x - 1 > 0\] \[5 \times 5^{2x} + 4 \times 5^x - 1 > 0\] \[5y^2 + 4y - 1 > 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство относительно переменной \(y\). Для этого мы можем построить график функции \(f(y) = 5y^2 + 4y - 1\) и определить интервалы, на которых данное неравенство выполняется.

Для начала найдем корни квадратного уравнения \(5y^2 + 4y - 1 = 0\). Используя квадратное уравнение, находим:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 5 \times (-1)}}{2 \times 5}\] \[y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{10}\] \[y = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{10}\] \[y = \frac{-4 \pm 6}{10}\]

Таким образом, у нас два корня: \(y_1 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{1}{5}\) и \(y_2 = \frac{-4 - 6}{10} = -1\).

Теперь мы можем использовать полученные корни, чтобы разбить интервалы на отрезки, на которых неравенство выполняется. После этого мы можем проверить значения функции внутри каждого отрезка, чтобы найти решение исходного неравенства.

Решение квадратного неравенства

Давайте рассмотрим интервалы, образованные корнями \(y_1 = \frac{1}{5}\) и \(y_2 = -1\).

1. Интервал \(y < -1\): Подставив \(y = -2\) в \(5y^2 + 4y - 1\), мы получаем \(5(-2)^2 + 4(-2) - 1 = 20 - 8 - 1 = 11\), что больше нуля.

2. Интервал \(-1 < y < \frac{1}{5}\): Подставив \(y = 0\) в \(5y^2 + 4y - 1\), мы получаем \(-1\), что меньше нуля.

3. Интервал \(y > \frac{1}{5}\): Подставив \(y = 1\) в \(5y^2 + 4y - 1\), мы получаем \(5 + 4 - 1 = 8\), что больше нуля.

Таким образом, неравенство \(5y^2 + 4y - 1 > 0\) выполняется на интервалах \(y < -1\) и \(y > \frac{1}{5}\).

Переход обратно к переменной x

Теперь, когда мы знаем, на каких интервалах выполняется неравенство относительно переменной \(y\), мы можем вернуться к изначальной переменной \(x = \log_5{y}\) и определить значения переменной \(x\), на которых исходное неравенство выполняется.

Если у вас есть конкретные значения переменной \(x\