Question

с1 решить уравнение 4+9cos2x=22cos^2x- 5/sin^2x

Answer 1

Представим 4=4*1=4(sin²x+cos²x)=4sin²x+4cos²x

cos2x=cos²x-sin²x

                       5           22cos²x sin²x-5       22 cos²x sin²x - 5 (sin²x+cos²x)²

 

 22cos²x - --------- = ----------------------- = --------------------------------------------

                    sin²x                sin²x                                      sin²x

    22sin²x cos²x-5sin⁴x-10sin²x cos²x-5cos⁴x      12sin²x cos²x-5sin⁴x-5cos⁴x

=---------------------------------------------------------- = --------------------------------------

                                   sin²x                                                               sin²x 

Уравнение будет иметь вид:

(4sin²x+4cos²x)sin²x+(9cos²x-9sin²x) sin²x=12sin²x cos²x-5sin⁴x-5cos⁴x

                                                                                             ОДЗ: sin²x≠0, x≠πn, n∈Z

4sin⁴x+4sin²x cos²x+9sin²x cos²x-9sin⁴x-12sin²x cos²x+5sin⁴x+5cos⁴x=0

 

 19sin²x cos²x+5cos⁴x=0

cos²x(19sin²x+5cos²x)=0

1)cosx=0, x=π/2+πk, k∈Z

2)19sin²x+5cos²x=0,  Делим на cos²x≠0

19tg²x+5=0, tg²x=-5/19<0  ⇒ нет решений (квадрат числа не может быть отрицательным)

Ответ:  x=π/2+πk, k∈Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для решения данного уравнения, начнем с упрощения выражений. Обозначим sin(x) как s и cos(x) как c, чтобы сократить запись.

Уравнение имеет вид: 4 + 9cos(2x) = 22cos^2(x) - 5/sin^2(x).

Упрощение выражений

1. Раскроем cos(2x) с помощью формулы двойного угла: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Подставим это выражение в уравнение: 4 + 9(cos^2(x) - sin^2(x)) = 22cos^2(x) - 5/sin^2(x).

2. Упростим уравнение, раскрыв скобки: 4 + 9cos^2(x) - 9sin^2(x) = 22cos^2(x) - 5/sin^2(x).

3. Приведем подобные слагаемые: 4 + (9cos^2(x) - 9sin^2(x)) = 22cos^2(x) - 5/sin^2(x).

4. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: 4 - 22cos^2(x) + 9cos^2(x) + 5/sin^2(x) - 9sin^2(x) = 0.

5. Упростим уравнение: 13cos^2(x) - 9sin^2(x) + 5/sin^2(x) = -4.

Приведение к общему виду

Мы получили уравнение, которое содержит две переменные: cos(x) и sin(x). Чтобы упростить его, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Уравнение приведем к общему виду, заменив cos(x) и sin(x) с помощью соответствующих тождеств:

cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

Подставим это значение в уравнение и упростим дальше.

Замена переменных

6. Подставим cos^2(x) = 1 - sin^2(x) в уравнение: 13(1 - sin^2(x)) - 9sin^2(x) + 5/sin^2(x) = -4.

7. Раскроем скобки: 13 - 13sin^2(x) - 9sin^2(x) + 5/sin^2(x) = -4.

8. Упростим уравнение: 13 - 22sin^2(x) + 5/sin^2(x) = -4.

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только одну переменную sin(x). Чтобы решить его, мы можем привести его к общему виду и решить квадратное уравнение относительно sin(x).

Приведение к квадратному уравнению

9. Умножим обе части уравнения на sin^2(x), чтобы избавиться от дроби: 13sin^2(x) - 22sin^4(x) + 5 = -4sin^2(x).

10. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: 22sin^4(x) - 9sin^2(x) + 5 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью стандартных методов решения квадратных уравнений.

Решение квадратного уравнения

11. Заметим, что данное уравнение имеет вид: 22t^2 - 9t + 5 = 0, где t = sin^2(x).

12. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(22)(5) = 81 - 440 = -359.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Вывод

Исходное уравнение 4 + 9cos(2x) = 22cos^2(x) - 5/sin^2(x) не имеет решений в действительных числах. Возможно, ошибка была допущена в записи уравнения или вводе данных. Проверьте условия и параметры задачи, чтобы убедиться в правильности формулировки.