Question

Довести,что сумма 3¹+3²+3³+3⁴+...3¹⁰⁰ делится на 120.

Answer 1

3¹+3²+3³+3⁴+...3¹⁰⁰
3(1+3)+3^3(1+3)+3^5(1+3)+.... + 3^99(1+3)= итого 50 сумм = 4(3+3^3+3^5+3^7+....+3^99)= 4(3(1+3^2)+3^5(1+3^2)+...+ 3^97(1+3^2)) = итого 25 сумм= 4*10(3+3^5+3^9+....+3^97)=40(3(1+3^4+3^8+....+3^96))= 120 (1+...+3^96)
один из сомножителей делится на 120 значит и все произведение делится

3^3 это три в степени 3

Answer 2

Доказательство деления суммы 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰ на 120

Для начала, заметим, что мы можем выразить данную сумму в виде геометрической прогрессии, где первый член a = 3¹, знаменатель q = 3, и количество членов n = 100. Таким образом, сумма геометрической прогрессии выражается формулой:

Sₙ = a * (qⁿ - 1) / (q - 1)

Где Sₙ - сумма n членов прогрессии, a - первый член, q - знаменатель.

Подставим значения и вычислим сумму:

Sₙ = 3¹ * (3¹⁰⁰ - 1) / (3 - 1)

Теперь, чтобы доказать, что данная сумма делится на 120, нам необходимо показать, что она делится и на 3, и на 40.

Доказательство деления на 3:

Заметим, что каждый член суммы является степенью 3, следовательно, каждый член делится на 3. Таким образом, сумма также делится на 3.

Доказательство деления на 40:

Для доказательства деления на 40, мы можем воспользоваться теоремой Эйлера, так как 3 и 40 взаимно простые числа (то есть их наибольший общий делитель равен 1). Теорема Эйлера утверждает, что если a и n взаимно простые, то a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n), где φ(n) - функция Эйлера, равная количеству натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n.

В данном случае, мы можем заметить, что φ(40) = 40 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5) = 16, поскольку 40 имеет два простых множителя - 2 и 5. Следовательно, 3¹⁶ ≡ 1 (mod 40).

Теперь мы можем заметить, что каждая степень 3, начиная с 3², делится на 3, и, начиная с 3⁴, также делится на 40. Поскольку 16 делит 100, то каждая степень 3 от 3¹⁶ до 3¹⁰⁰ также делится на 40.

Таким образом, сумма 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰ делится на 3 и на 40, значит, она также делится на 120.

Таким образом, мы успешно доказали, что сумма 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰ делится на 120.