Question

Найдите хотя бы одну первообразную функции f(x)=4-6/(x в квадрате), значение которой при x=2 отрицательно.

Answer 1

Первообразная в общем виде
F(x) = 4x + 6/x + C
При х = 2 оно должно быть отрицательно
4*2 + 6/2 + C < 0
8 + 3 + C < 0
C < -11
Например
F(x) = 4x + 6/x - 15

 

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 4 - 6/(x^2), значение которой при x = 2 отрицательно, мы должны проинтегрировать данную функцию.

Вычисление первообразной

Для интегрирования данной функции, мы будем использовать метод частных производных. Давайте начнем вычисление:

Интеграл f(x) dx = ∫ (4 - 6/(x^2)) dx

Разобъем данное уравнение на две части: ∫ 4 dx - ∫ 6/(x^2) dx

Первое слагаемое ∫ 4 dx является простым и равно 4x. Теперь рассмотрим второе слагаемое:

∫ 6/(x^2) dx

Для интегрирования этого слагаемого, мы можем использовать метод замены переменной. Пусть u = x^2, тогда du/dx = 2x и dx = du/(2x). Подставим это в наше уравнение:

∫ 6/(x^2) dx = ∫ 6/u * (1/(2x)) du = 3/u du

Теперь мы интегрируем 3/u относительно переменной u:

∫ 3/u du = 3 ln|u| + C,

где C - постоянная интегрирования. Возвращаясь к исходной переменной x, получаем:

∫ 6/(x^2) dx = 3 ln|x^2| + C = 3 ln|x| + C'.

Теперь объединим оба слагаемых:

∫ f(x) dx = 4x + 3 ln|x| + C.

Проверка значения при x = 2

Теперь, чтобы проверить, что значение функции при x = 2 отрицательно, мы подставим x = 2 в нашу первообразную функцию:

f(2) = 4(2) + 3 ln|2| + C = 8 + 3 ln(2) + C.

Если мы хотим, чтобы значение функции было отрицательным, то нам нужно выбрать постоянную интегрирования C таким образом, чтобы значение f(2) было отрицательным.

Например, если мы выберем C = -8 - 3 ln(2), то получим:

f(2) = 8 + 3 ln(2) - 8 - 3 ln(2) = 0.

Таким образом, если мы выберем C = -8 - 3 ln(2), то значение функции f(x) будет отрицательным при x = 2.

Итак, одна из первообразных функций, значение которой при x = 2 отрицательно, это:

F(x) = 4x + 3 ln|x| - 8 - 3 ln(2) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.