Question

Помогите решить задание пожалуйстаВычислить пределы функции по правилу Лопиталя

Answer 1

$\lim_{x \to 10} \frac{x^2-100}{x+10} = \lim_{x \to 10} \frac{(x-10)(x+10)}{x+10} = \lim_{x \to 10} (x-10)=0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3+4x+1}{x^3+5} = \lim_{x \to \infty} \frac{3+ \frac{4}{x^2}+ \frac{1}{x^3} }{1+ \frac{5}{x^3} } = \frac{3+0+0}{1+0} =3$

Answer 2

Для вычисления пределов функций по правилу Лопиталя, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите предел функции в исходной форме. Если полученное значение является неопределенностью вида 0/0 или ∞/∞, перейдите к следующему шагу. 2. Возьмите производную числителя и знаменателя и найдите их пределы по мере приближения к точке, в которой вы ищете предел. 3. Если полученное значение является неопределенностью вида 0/0 или ∞/∞, повторите шаги 2 и 3, продифференцировав числитель и знаменатель снова. 4. Продолжайте повторять шаги 2 и 3, пока не получите определенное значение или неопределенность вида 0/0 или ∞/∞. 5. Если после нескольких итераций вы все еще получаете неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, попробуйте применить правило Лопиталя еще раз.

Давайте рассмотрим пример для наглядности. Предположим, что нам нужно вычислить предел функции lim (3x^2 - 4x + 5) / (3x^2 - 8x + 4) при x стремящемся к 1.

1. Найдем предел функции в исходной форме: lim (3x^2 - 4x + 5) / (3x^2 - 8x + 4) при x стремящемся к 1.

2. Возьмем производную числителя и знаменателя: Числитель: (6x - 4) Знаменатель: (6x - 8)

3. Найдем пределы производных по мере приближения к точке x = 1: Числитель: lim (6x - 4) при x стремящемся к 1 = 6(1) - 4 = 2 Знаменатель: lim (6x - 8) при x стремящемся к 1 = 6(1) - 8 = -2

4. Подставим найденные пределы производных в формулу предела: lim (3x^2 - 4x + 5) / (3x^2 - 8x + 4) при x стремящемся к 1 = 2 / -2 = -1

Таким образом, предел функции lim (3x^2 - 4x + 5) / (3x^2 - 8x + 4) при x стремящемся к 1 равен -1.

Примечание: Указанный пример является иллюстративным и не отражает все возможные случаи применения правила Лопиталя. В каждом конкретном случае необходимо проводить дополнительные вычисления и анализировать полученные результаты.

Источник: - 'lim 3x 2 5x 2/3x 2 8x 4: 1 ...' (Mail.ru)