Question

1)Найдите все значения параметра а, при каждом из которых системеудовлетворяет ровно одно значение x.2)Решите системуx^2+2y=4x^2+y^2=ac параметром a3)при каких значениях параметра а система|y|+x^2=4x^2+y^2=aимеет четыре решения?

Answer 1

кор(3) х = t

кор(3) (8-t^3) <= 2-t,   8-t^3 <= 8 - 12t + 6t^2 - t^3,   6t(t - 2)>=0

t прин (-беск; 0]v[2; беск),  или х прин (-беск; 0]v[8; беск).

 

///////////0---------------------8//////////                         (1)

Проанализируем второе неравенство:

ax^2 + 20x - 32>=0,     D = 400+128a    корD = 4кор(25+8а)

х1 = (-20 + 4кор(25+8а))/2а = (-10 + 2кор(25+8а))/а

х2 = (-20 -  4кор(25+8а))/2а = (-10 - 2кор(25+8а))/а.

Для того, чтобы области решения данного неравенства при пересечении с областями (1) дали только одну точку, необходимо, чтобы парабола имела ветви вниз (а<0)  и: 1)больший корень равнялся 8, а меньший был больше 0; 2) меньший корень равнялся 0, а больший был меньше 8.

Итак сначала: D>0   a> -25/8, но потребуем еще: a<0

Итак ОДЗ для а:   а прин (-25/8; 0).

Если а - отрицательно, то большим корнем будет являться х2. Решим уравнение:

(-10 - 2кор(25+8а))/а = 8

кор(25+8а)= -5 - 4а

25+8а = 25+40a+16a^2

16a^2+32a = 0       a = -2    (a = 0  - не подходит по ОДЗ)

Проверим, будет ли при этом а меньший корень х1 - больше 0.

х2 = 2  условие выполняется.

Теперь проверим при каком а меньший корень будет равняться 0:

(-10 + 2кор(25+8а))/а = 0

кор(25+8а) = 5

а = 0   не подходит.

Ответ: при а = -2   (решение: х=8).

2) Вычтем из второго - первое:    (ОДЗ: y <=2)

y^2 - 2y - (a-4) = 0,     D = 4a-12.

При а < 3 решений нет

При а = 3   у = 1,  х = +-кор2

При а>3:  У1,2 = 1 +- кор(а-3)

C учетом ОДЗ:

1+кор(а-3)<=2    a<=4   То есть а прин (3; 4]

Найдем х:  Х1,2 = +-кор(2 - кор(а-3))

                  Х3,4 = +-кор(2 + кор(а-3))

При a>4  - только один у подходит: у = 1-кор(а-3),х=+-кор(2+кор(а-3).

Ответ:

при а прин (-беск; 3) - нет решений

при а = 3:   (кор2; 1);   (-кор2; 1)

при a прин (3; 4]:  (кор(2-кор(а-3)); 1+кор(а-3)); (-кор(2-кор(а-3)); 1+кор(а-3); (кор(2+кор(а-3)); 1-кор(а-3));  (-кор(2+кор(а-3)); 1-кор(а-3)).

при a>4: (кор(2+кор(а-3)); 1-кор(а-3));  (-кор(2+кор(а-3)); 1-кор(а-3)).

3. Решил графически - вышлю по почте

 

Answer 2

1) Для того чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых система удовлетворяет ровно одно значение x, мы можем использовать метод подстановки.

Для первого уравнения x^2 + 2y = 4, мы можем выразить y через x: y = (4 - x^2)/2.

Подставим это выражение во второе уравнение: x^2 + (4 - x^2)^2 = a.

Раскроем скобки: x^2 + 16 - 8x^2 + x^4 = a.

Упростим уравнение: x^4 - 7x^2 + 16 = a.

Теперь у нас есть уравнение, которое зависит от параметра a. Мы можем решить это уравнение для x и найти все значения параметра a, при которых система удовлетворяет ровно одно значение x.

2) Решим систему уравнений x^2 + 2y = 4 и x^2 + y^2 = a с параметром a.

Из первого уравнения выразим y: y = (4 - x^2)/2.

Подставим это выражение во второе уравнение: x^2 + ((4 - x^2)/2)^2 = a.

Раскроем скобки и упростим уравнение: x^2 + (16 - 8x^2 + x^4/4)/4 = a.

Упростим дробь: x^2 + 4 - 2x^2 + x^4/4 = a.

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби: 4x^2 + 16 - 8x^2 + x^4 = 4a.

Упростим уравнение: x^4 - 4x^2 + 16 = 4a.

Таким образом, система уравнений x^2 + 2y = 4 и x^2 + y^2 = a с параметром a имеет решения при значениях x, удовлетворяющих уравнению x^4 - 4x^2 + 16 = 4a.

3) Чтобы найти значения параметра a, при которых система |y| + x^2 = 4 и x^2 + y^2 = a имеет четыре решения, мы можем рассмотреть различные случаи.

Если |y| + x^2 = 4, то |y| = 4 - x^2. Это означает, что y может быть как положительным, так и отрицательным.

Таким образом, у нас есть два случая: когда y положительное и когда y отрицательное.

Для каждого случая мы можем подставить значения y во второе уравнение x^2 + y^2 = a и найти значения параметра a, при которых система имеет четыре решения.