Question

Решите: sin30°cosx+cos30°sinx《1

Answer 1

Sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
Sin(30+x)

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам необходимо использовать тригонометрические тождества, а именно формулу синуса двойного угла и формулу косинуса двойного угла.

Формула синуса двойного угла: sin(2θ) = 2sinθcosθ

Формула косинуса двойного угла: cos(2θ) = cos²θ - sin²θ

В данном уравнении имеем sin30°cosx + cos30°sinx < 1. Мы можем заменить sin30° и cos30° на их эквиваленты в терминах sinx и cosx, используя формулы синуса и косинуса двойного угла.

sin30° = sin(2 * 15°) = 2sin15°cos15° cos30° = cos(2 * 15°) = cos²15° - sin²15°

Теперь мы можем заменить sin30° и cos30° в исходном уравнении:

2sin15°cos15°cosx + (cos²15° - sin²15°)sinx < 1

Далее, мы можем раскрыть скобки и упростить выражение:

2sin15°cos15°cosx + cos²15°sinx - sin²15°sinx < 1

Используем формулу синуса двойного угла для sin²15°:

sin²15° = (1 - cos(2 * 15°)) / 2

Подставляем это обратно в уравнение:

2sin15°cos15°cosx + cos²15°sinx - ((1 - cos(2 * 15°)) / 2)sinx < 1

Теперь мы можем упростить это выражение, учитывая, что sin²15° = (1 - cos(2 * 15°)) / 2:

2sin15°cos15°cosx + cos²15°sinx - (1 - cos(2 * 15°))sinx / 2 < 1

Далее, мы можем упростить это выражение, учитывая, что cos²15° = 1 - sin²15°:

2sin15°cos15°cosx + (1 - sin²15°)sinx - (1 - cos(2 * 15°))sinx / 2 < 1

Продолжаем упрощать:

2sin15°cos15°cosx + sinx - sin²15°sinx - (1 - cos(2 * 15°))sinx / 2 < 1

Теперь, объединяем подобные слагаемые и упрощаем выражение:

2sin15°cos15°cosx + sinx(1 - sin²15° - (1 - cos(2 * 15°)) / 2) < 1

Учитывая, что 1 - sin²15° - (1 - cos(2 * 15°)) / 2 = cos(2 * 15°) / 2, можем записать уравнение в следующем виде:

2sin15°cos15°cosx + sinx * (cos(2 * 15°) / 2) < 1

Теперь мы можем упростить это выражение:

sin30°cosx + sinx * (cos(2 * 15°) / 2) < 1

Заменяем sin30° на 2sin15°cos15°:

2sin15°cos15°cosx + sinx * (cos(2 * 15°) / 2) < 1

Теперь, мы можем объединить подобные слагаемые, учитывая, что 2sin15°cos15° = sin(2 * 15°):

sin(2 * 15°)cosx + sinx * (cos(2 * 15°) / 2) < 1

Теперь, факторизуем sin(2 * 15°) из обоих слагаемых:

sin(2 * 15°)(cosx + cos(2 * 15°) / 2) < 1

И, наконец, делим обе части неравенства на sin(2 * 15°):

cosx + cos(2 * 15°) / 2 < 1 / sin(2 * 15°)

Окончательный ответ:

cosx + cos(2 * 15°) / 2 < 1 / sin(2 * 15°)