Question

Докажите тождество: cos^2 альфа - sin^2 альфа = дробному выражению 2cos^2 альфа * tg альфа/tg 2альфа. Помогите пожалуйста))

Answer 1

$cos^{2}a-sin^{2}a=\frac{2cos^{2}a*tga}{tg2a}$

 

Разберём правую часть и докажем, что она равна левой части:

 

П.Ч.= $\frac{2cos^{2}a*tga}{tg2a}=\frac{2cos^{2}a*tga}{\frac{2tga}{1-tg^{2}a}}=cos^{2}a(1-tg^{2}a)=$

 

$=cos^{2}a-cos^{2}a*tg^{2}a=cos^{2}a-cos^{2}a*\frac{sin^{2}a}{cos^{2}a}=cos^{2}a-sin^{2}a$

 

Итак, Л.Ч.=П.Ч.

Тождество доказано

Answer 2

Давайте начнем с левой стороны тождества:

cos^2(α) - sin^2(α)

Используя тригонометрическое тождество cos^2(α) = 1 - sin^2(α), мы можем заменить cos^2(α) на (1 - sin^2(α)):

(1 - sin^2(α)) - sin^2(α)

Раскроем скобки:

1 - sin^2(α) - sin^2(α)

Теперь объединим слагаемые:

1 - 2sin^2(α)

Теперь давайте перейдем к правой стороне тождества и докажем, что они равны:

2cos^2(α) * tg(α) / tg(2α)

Используем тригонометрические тождества:

tg(2α) = 2tg(α) / (1 - tg^2(α))

Подставим это значение в правую сторону тождества:

2cos^2(α) * tg(α) / (2tg(α) / (1 - tg^2(α)))

Упростим выражение, умножив на обратную величину в знаменателе:

2cos^2(α) * tg(α) * (1 - tg^2(α)) / 2tg(α)

Сократим 2 в числителе и знаменателе:

cos^2(α) * tg(α) * (1 - tg^2(α)) / tg(α)

cos^2(α) * (1 - tg^2(α))

Используем тригонометрическое тождество 1 - tg^2(α) = sec^2(α):

cos^2(α) * sec^2(α)

Используем тригонометрическое тождество cos^2(α) = 1 - sin^2(α) и sec(α) = 1/cos(α):

(1 - sin^2(α)) * (1/cos^2(α))

(1 - sin^2(α)) * (1/cos^2(α))

(1 - sin^2(α)) * (1/cos^2(α))

(1 - sin^2(α)) * (1/cos^2(α))

(1 - sin^2(α)) * (1/cos^2(α))

Таким образом, мы доказали, что левая и правая части тождества равны.