Question

Розв'яжіть нерівність (x-4)² < (x-2)(x+2)

Answer 1

(х-4)²<(x-2)(x+2)
x²-8x+16<x²-4
-8x<-20
x>20:8
x>5/2
x>2,5
Ответ: (2,5;∞)

Answer 2

Для розв'язання нерівності (x-4)² < (x-2)(x+2) спробуймо використати алгебраїчні методи та властивості квадратних виразів.

Розв'язання нерівності (x-4)² < (x-2)(x+2)

1. Розглянемо ліву та праву частини нерівності окремо: Ліва частина: (x-4)² Права частина: (x-2)(x+2)

2. Розкриємо множники у правій частині: (x-2)(x+2) = x² - 4

3. Тепер нерівність виглядає так: (x-4)² < x² - 4

4. Розглянемо ліву та праву частини нерівності окремо: a) Ліва частина: (x-4)² = x² - 8x + 16 b) Права частина: x² - 4

5. Тепер отримали наступну нерівність: x² - 8x + 16 < x² - 4

6. Віднімемо від обох сторін x²: -8x + 16 < -4

7. Віднімемо від обох сторін 16: -8x < -20

8. Розділимо обидві сторони на -8 (змінюємо знак нерівності через ділення на від'ємне число): x > 20/8 x > 5/2

Отже, розв'язком нерівності (x-4)² < (x-2)(x+2) є множина усіх значень x, більших за 5/2. Таким чином, розв'язок цієї нерівності може бути виражений у вигляді інтервалу: (5/2, +∞).