Question

При каких значениях параметра a область определения функции содержит ровно 7 целых чисел?

Answer 1

Для начала замечу, что под знак  корня входит и логарифм. Поэтому я обязан наложить следующие ограничения:
$\left \{ {{x \ \textgreater \ 0} \atop {x \neq 1}} \right.$
Кроме того, отсюда же следует ограничение и на параметр: $a \ \textgreater \ 0$.

Теперь преобразую подкоренное выражение таким образом:
$\sqrt[10]{ a^{8} x^{0,25} - x^{0,25} x^{ log_{x} a^{x} } - a^{8 + 0,25} + a^{x} a^{0,25} } = \\ \sqrt[10]{ a^{8} x^{0,25} - x^{0.25} a^{x} - a^{8} a^{0,25} + a^{x} a^{0,25} } = \\ \sqrt[10]{(a^{8} x^{0,25} - x^{0.25} a^{x}) - (a^{8} a^{0,25} - a^{x} a^{0,25})} = \\ \sqrt[10]{ x^{0,25} (a^{8} - a^{x}) - a^{0,25}(a^{8} - a^{x})} = \\ \sqrt[10]{( a^{8} - a^{x} )( \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a}) }$

Вспоминаем теперь о том, что корень чётной степени имеет смысл, если его подкоренное выражение неотрицательно, то есть, отсюда следует неравенство
$( a^{8} - a^{x} )( \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a} ) \geq 0$
Для решения этого неравенства используем метод рационализации(все необходимые ограничения мы уже наложили ранее):

$(a - 1)(8 - x)(x - a) \geq 0$

Теперь необходимо исследовать полученное неравенство. Решаем его методом интервалов:

$(a - 1)(x - 8)(x - a) \leq 0$

Отсюда уже видим:
1)Пусть $a \ \textgreater \ 1$. Тогда
     $(x - 8)(x - a) \leq 0$
     Здесь возникают следующие подслучаи(в зависимости от расположения точек x = 8 и x = a на числовой оси):
     а)$a \ \textgreater \ 8$
        
          Тогда неравенство решением имеет отрезок $[8,a]$
         Очевидно, условие x > 0 для данного отрезка выполняется(поскольку, очевидно, в этом случае x > 8) и икс отличен от 1(по такой же причине).
         То есть,  в этом случае область определения функции состоит только из указанного отрезка. Чтобы в неём лежало ровно 7 целых точек необходимо, чтобы $14 \leq a \ \textless \ 15$. Правый конец не включаем, поскольку при a = 15 в области определения будет лежать и восьмая целая точка.

       б)Пусть теперь $a \ \textless \ 8$, а с учётом рассматриваемых а, $1 \ \textless \ a \ \textless \ 8$. Тогда точка x = 8 лежит правее точки x = a и решение неравенства будет иметь вид: $[a, 8]$.
    Проверим выполнение остальных условий на данном отрезке. Поскольку $a \ \textgreater \ 1$, то $x \ \textgreater \ 1$ заведомо. Оба ограничения здесь выполняются, а потому указанный отрезок и есть область определения нашей функции.
 Очевидно, что ровно 7 точек на данном отрезке будут лишь, когда a ∈ $(1,2]$. Правый конец обязан входить, а вот левый обязан не входить, поскольку иначе на отрезке будет 8 целых точек. Поскольку все эти значения больше 1, то эти интервалы пойдут в ответ.

       в)Пусть теперь $a = 8$. Тогда получаем неравенство
             $(x-8)^{2} \leq 0$, которое, очевидно, выполняется лишь в одной точке(x = 8). Значит, a = 8 условию задачи не удовлетворяет.

2)Пусть $a \ \textless \ 1$. Тогда $a -1 \ \textless \ 0$ и неравенство преобразуется так:
          
           $(8-x)(x-a) \leq 0 \\ (x-8)(x-a) \geq 0$
Ясно, что случай a < 1 нас не устраивает вообще, поскольку неравенство будет иметь своими решениями лишь бесконечные интервалы и обеспечить наличие ровно 7 точек в области определения функции точно не удастся.

3)Пусть $a = 1$. Тогда a - 1 = 0 и неравенство имеет вид
                                            $0 \geq 0$
В этом случае неравенство выполняется ДЛЯ ЛЮБЫХ x. Ситуация та же самая. Обеспечить наличие в точности 7 точек в области определения мы не сможем.

Поэтому ответ задачи такой:
$a$∈$(1,2]$∪$[14,15)$

Answer 2

:)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))