Question

Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.

Answer 1

Ну для начала возьмем все таки этот интеграл (сначал можно как неопределенный)

$\int{\frac{e^\sqrt(x)}{\sqrt(x)}}\, dx=$ {сделаем замену $u=\sqrt{x}, du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$ } продолжаем вычисление $=2\int{e^u}\, du=2e^u+C$

Теперь вернемся к исходным переменным: $2e^u=2e^{\sqrt{x}}$

Интеграл взяли, теперь вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница: $\int\limits^a_b {f(x)} \, dx=F(b)-F(a)$ , где F(x)-какая-либо первообразная от функции f(x). Выше мы нашли первообразную от f(x) и она оказалась равна F$F(x)=2e^{\sqrt{x}}$, константу здесь сделали 0.

Ну и теперь получаем

 $\int\limits^4_1{\frac{e^\sqrt(x)}{\sqrt(x)}}\, dx=2(e^2-e)$

Ответ:    $\int\limits^4_1{\frac{e^\sqrt(x)}{\sqrt(x)}}\, dx=2(e^2-e)$

 

Примечание: почему я сначала брал неопределенный интеграл?

Потому что при любой замене в определенном интеграле необходимо пересчитывать пределы интегрирования.

Но поскольку мы пользуемся формулой Ньютона-Лебница в которой нам нужно найти именно первообразную, то можно воспользоваться и неопеределенным интегралом, чтобы ничего не пересчитывать.