Question

Назовем число особым, если его можно представить в виде m^2 +2n^2, где m и n – целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел есть особое число.

Answer 1

Q1=(a² +2b²)  первое число
q2=(m² +2n²)  второе число
q1*q2=(a² +2b²) *(m²+2n²) =a²m² +2m²b²+2a²n²+4b²n²=
=(am)²+(2bn)² +2((mb)²+(an)²)
До полного квадрата не хватает выражения 
в первой скобке 4ambn добавляешь и вычитаешь его
(am)²+(2bn)²+4ambn-4ambn +2((mb)²+(an)²)=(am+2bn)²-4ambn + 2((mb)²+(an)²)
внесем -4ambn в скобку 2((mb)²+(an)²)
(am+2bn)²+2(mb)²+(an)²-2ambn)=(am+2bn)²+2(mb-an)²
произведем замену x=(am+2bn)   y=(mb-an)
получим q1*q2=x²+2y² что и требовалось доказать