Question

Мяч брошен вверх два раза. При втором броске ему сообщили скорость, в три раза большую, чем при первом. Во сколько раз больше будет высота, на которую мяч поднимется при втором броске, чем при первом? Во сколько раз больше времени будет находиться в полете?

Answer 1

Функция перемещения мяча выглядит:

$h(t)=V_0t-\frac{gt^2}{2}$ считаем начальную высоту равной нулю

Время полета до максимальной высоты:

$V(t)=V_0-gt$

$0=V_0-gt$

$t_1=\frac{V_0}{g}$

$t_2=\frac{3V_0}{g}$

$H_1=\frac{V_0^2}{g}-\frac{V_0^2}{2g}=\frac{V_0^2}{2g}$

$H_2=\frac{9V_0^2}{g}-\frac{9V_0^2}{2g}=\frac{9V_0^2}{2g}$

$\frac{H_2}{H_1}=\frac{\frac{9V_0^2}{2g}}{\frac{V_0^2}{2g}}=9$

$\frac{t_2}{t_1}=\frac{\frac{3V_0}{g}}{\frac{V_0}{g}}=3$

Ответ:1)$\frac{H_2}{H_1}=9$

2)$\frac{t_2}{t_1}=3$

Answer 2

Пусть \(h_1\) и \(v_1\) - высота и скорость первого броска, а \(h_2\) и \(v_2\) - высота и скорость второго броска.

Известно, что скорость второго броска (\(v_2\)) в три раза больше, чем скорость первого броска (\(v_1\)). Это можно записать уравнением:

\[v_2 = 3v_1\]

Для того чтобы найти высоту (\(h\)), используем уравнение кинематики для вертикального движения:

\[h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2\]

Где: - \(h\) - высота, - \(v_0\) - начальная скорость, - \(g\) - ускорение свободного падения (приблизительно 9.8 м/с²), - \(t\) - время.

Для первого броска:

\[h_1 = v_1t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2\]

Для второго броска:

\[h_2 = v_2t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2\]

Теперь у нас есть отношения \(v_2 = 3v_1\), поэтому можно выразить \(t_2\) через \(t_1\):

\[t_2 = \frac{t_1}{3}\]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для \(h_2\):

\[h_2 = 3v_1 \left(\frac{t_1}{3}\right) - \frac{1}{2}g \left(\frac{t_1}{3}\right)^2\]

Сокращаем выражение:

\[h_2 = v_1t_1 - \frac{1}{18}gt_1^2\]

Теперь мы можем сравнить \(h_2\) и \(h_1\):

\[\frac{h_2}{h_1} = \frac{v_1t_1 - \frac{1}{18}gt_1^2}{v_1t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2}\]

Сокращаем выражение:

\[\frac{h_2}{h_1} = \frac{1 - \frac{1}{18}gt_1}{1 - \frac{1}{2}gt_1}\]

Теперь мы видим, что зависимость высоты от времени отличается от зависимости времени от высоты. Если вы хотите узнать, во сколько раз высота больше, нужно подставить конкретные значения времени и ускорения свободного падения в это выражение.