Question

2cos(х+п\3)+4sin(х+п\3)=5\2

Answer 1

Я решил на листочке...

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 4\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{5}{2}\]

Сначала преобразим слева стороны уравнения, используя формулы сложения для синуса и косинуса:

\[2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 4\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2\left[\cos(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin(x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] + 4\left[\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]\]

Выполняем вычисления:

\[2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 4\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2\cos(x)\frac{1}{2} - 2\sin(x)\frac{\sqrt{3}}{2} + 4\sin(x)\frac{1}{2} + 4\cos(x)\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[= \cos(x) - \sqrt{3}\sin(x) + 2\sin(x) + 2\sqrt{3}\cos(x)\]

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

\[\cos(x) - \sqrt{3}\sin(x) + 2\sin(x) + 2\sqrt{3}\cos(x) = \frac{5}{2}\]

Сгруппируем слагаемые:

\[\cos(x) + 2\sqrt{3}\cos(x) + 2\sin(x) - \sqrt{3}\sin(x) = \frac{5}{2}\]

Теперь можно переписать уравнение в виде:

\[\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x) = \frac{5}{2}\]

Далее, используем тригонометрическое тождество \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\):

\[\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin(x)\cos\frac{\pi}{6} + \cos(x)\sin\frac{\pi}{6}\]

\[\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)\]

Таким образом, уравнение примет вид:

\[\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})\]

Подставляем это в уравнение:

\[\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{5}{2}\]

Теперь мы можем решить уравнение для \(x + \frac{\pi}{6}\):

\[x + \frac{\pi}{6} = \arcsin\left(\frac{5}{2}\right)\]

Решение данного уравнения даст нам значение \(x\). Однако, стоит отметить, что арксинус может принимать значения только в диапазоне от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\), поэтому если полученное значение выходит за этот диапазон, нужно добавить к нему \(2\pi\) или \(-2\pi\), чтобы учесть все возможные значения \(x\).

\[x = \arcsin\left(\frac{5}{2}\right) - \frac{\pi}{6} + 2\pi k\]

где \(k\) - любое целое число.