Question

Дано: А(0;-1), В(-1;4), С(5;-2) Найти: а) Коорд. точки D - середина ВС; б) Док - ть, что AD параллельно BC

Answer 1

$D( \frac{-1+5}{2} ; \frac{4-2}{2} )=(2;1) \\ \vec {AD}(2-0;1+1)=(2;2) \\ \vec {BC}(5+1;-2-4)=(6;-6) \\ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} => \frac{2}{6} \neq \frac{2}{-6}$
Они не параллельны, скорее перпендикулярны, потому как:
$\vec {AD} *\vec {BC}=0 \\ \vec {AD} *\vec {BC}=2*6+2*(-6)=12-12=0$
$\vec {AD} \perp \vec {BC}$

Answer 2

Для начала найдем координаты точки D - середины отрезка BC. Для этого можно воспользоваться формулами нахождения средней точки между двумя точками:

Координаты точки D = ((x_B + x_C) / 2, (y_B + y_C) / 2)

Где (x_B, y_B) - координаты точки B, (x_C, y_C) - координаты точки C.

Для точек B(-1;4) и C(5;-2):

x_D = ((-1 + 5) / 2) = 2

y_D = ((4 + (-2)) / 2) = 1

Таким образом, координаты точки D равны (2, 1).

Теперь, чтобы доказать, что AD параллельно BC, можно воспользоваться условием параллельности прямых в декартовой системе координат. Две прямые параллельны, если и только если их направляющие векторы пропорциональны.

Направляющий вектор для отрезка BC (вектор BC) можно найти, вычтя координаты точки B из координат точки C:

Вектор BC = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (5 - (-1), (-2) - 4) = (6, -6)

Аналогично, направляющий вектор для отрезка AD (вектор AD) можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки D:

Вектор AD = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (2 - 0, 1 - (-1)) = (2, 2)

Теперь проверим, пропорциональны ли эти векторы:

(2, 2) = 1/3 * (6, -6)

Таким образом, векторы пропорциональны с коэффициентом 1/3. Это означает, что AD параллельно BC.

Итак, мы доказали, что AD параллельно BC, и нашли координаты точки D - середины отрезка BC, которая равна (2, 1).