Question

Решить тригонометрические уравнения 1) cos^2 x/2-sin^2 x/2=0 2) 3cos^2 x + 2cosx-5=0 3) 6cos^2 x -sinx + 1=0

Answer 1

1) cos²x/2-sin²x/2=0,   это косинус двойного угла,  cosx=0, x=π/2+πn,n∈Z  

  2)3cos²x+2cosx-5=0, t=cosx, 3t²+2t-5=0, t=(-2-8)/6=-5/3, t₂=(-2+8)/6=1

cosx=-5/3 нет решений, т.к. -5/3<-1

cosx=1 , x=2πk, k∈Z

 3) 6cos²x-sinx+1=0, 6(1-sin²x)-sinx+1=0, t=sinx,  6-6t²-t+1=0,6t²+t-7=0,D=169,

t₁=(-1-13)/12=-7/6,  t₂=(-1+13)/12=1

sinx=-7/6 <-1 ⇒нет решений 

sinx=1, x=π/2+2πn, n∈Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Конечно, давайте решим каждое из уравнений поочередно.

1) \( \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = 0 \)

Используем тригонометрическую идентичность \( \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos(2\theta) \):

\[ \cos x = 0 \]

Таким образом, решение уравнения - это все значения x, для которых \(\cos x = 0\). Это происходит, когда \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), где \(n\) - целое число.

2) \(3\cos^2 x + 2\cos x - 5 = 0\)

Давайте представим это уравнение как квадратное уравнение относительно \(\cos x\):

\[3\cos^2 x + 2\cos x - 5 = 0\]

Решим это уравнение, используя квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[a = 3, \quad b = 2, \quad c = -5\]

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = 2^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64\]

Так как \(D > 0\), у нас есть два корня:

\[\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[\cos x = \frac{-2 \pm 8}{2(3)}\]

1) \(\cos x = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{1}{3}\) 2) \(\cos x = \frac{-2 - 8}{6} = -2\)

Однако, \(\cos x\) не может быть больше 1 по модулю, поэтому второй корень не подходит.

Таким образом, у нас есть одно решение: \(\cos x = \frac{1}{3}\).

3) \(6\cos^2 x - \sin x + 1 = 0\)

Данное уравнение не выглядит как квадратное уравнение относительно \(\cos x\) или \(\sin x\), поэтому давайте воспользуемся тригонометрическими идентичностями для связи \(\cos x\) и \(\sin x\):

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1\]

\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x\]

Теперь подставим это в уравнение:

\[6\cos^2 x - \sin x + 1 = 0\]

\[6\cos^2 x - (1 - \cos^2 x) + 1 = 0\]

Упростим:

\[7\cos^2 x - \sin x = 0\]

Теперь, мы видим, что у нас есть \(\sin x\) в уравнении. Давайте воспользуемся тем, что \(\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}\):

\[7\cos^2 x - \sqrt{1 - \cos^2 x} = 0\]

Решим это уравнение, приведя его к квадратному относительно \(\cos x\):

\[7\cos^2 x - \sqrt{1 - \cos^2 x} = 0\]

\[\cos^2 x = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{7}\]

Возведем обе стороны в квадрат:

\[7\cos^4 x = 1 - \cos^2 x\]

Теперь, давайте представим \(\cos^2 x\) как \(t\):

\[7t^2 = 1 - t\]

\[7t^2 + t - 1 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

\[D = 1^2 - 4(7)(-1) = 1 + 28 = 29\]

\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{14}\]

Таким образом, у нас есть два корня:

1) \(t_1 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{14}\) 2) \(t_2 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{14}\)

Теперь, подставим обратно \(\cos^2 x = t\):

1) \(\cos^2 x = \frac{-1 + \sqrt{29}}{14}\) 2) \(\cos^2 x = \frac{-1 - \sqrt{29}}{14}\)

Однако, \(\cos^2 x\) не может быть больше 1, поэтому второй корень не подходит.

Таким образом, у нас есть одно решение: \(\cos^2 x = \frac{-1 + \sqrt{29}}{14}\).