Question

Решите неравенство методом интервалов:x-3/(5+x)(1-x)^2>=0

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, нужно использовать метод интервалов. Давайте разберемся шаг за шагом.

Исходное неравенство:

\[ \frac{x-3}{(5+x)(1-x)^2} \geq 0 \]

1. Находим критические точки - значения \(x\), при которых числитель и/или знаменатель равны нулю:

\[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]

\[ (5+x)(1-x)^2 = 0 \]

Это уравнение имеет два корня: \( x = -5 \) и \( x = 1 \).

Таким образом, у нас есть три критических точки: \( x = -5, 1, 3 \).

2. Выбираем тестовые точки в каждом интервале, образованном этими критическими точками. Интервалы: \((- \infty, -5)\), \((-5, 1)\), \((1, 3)\), \((3, +\infty)\). Выберем, например, точку из каждого интервала:

- В интервале \((- \infty, -5)\) возьмем \(x = -6\). - В интервале \((-5, 1)\) возьмем \(x = 0\). - В интервале \((1, 3)\) возьмем \(x = 2\). - В интервале \((3, +\infty)\) возьмем \(x = 4\).

3. Подставляем тестовые точки в исходное неравенство и определяем знак в каждом интервале:

- В интервале \((- \infty, -5)\): \(\frac{(-6) - 3}{(-6+5)(1-(-6))^2} = \frac{-9}{-1 \cdot 7^2} < 0\). - В интервале \((-5, 1)\): \(\frac{0 - 3}{(0+5)(1-0)^2} = \frac{-3}{5} < 0\). - В интервале \((1, 3)\): \(\frac{2 - 3}{(2+5)(1-2)^2} = \frac{-1}{7} < 0\). - В интервале \((3, +\infty)\): \(\frac{4 - 3}{(4+5)(1-4)^2} = \frac{1}{45} > 0\).

4. Собираем ответ:

- Неравенство выполняется в интервалах, где знак равен нулю или положителен. Таким образом, ответ:

\[ x \in (-\infty, -5) \cup (1, 3] \]

(Заметьте, что \(x = 1\) не включено в ответ, так как в знаменателе исходного неравенства присутствует \((1-x)^2\), и \(x = 1\) делает знаменатель равным нулю).