Question

3sin^2x-4sinxcosx+5cos^2x=0 Решить уравнение

Answer 1

3Sin^2x - 4SinxCosx +5Cosx = 0 | :Cos^2x
3tg^2x -4tgx +5 = 0
решаем как квадратное:
D = b^2 -4ac = 16 - 60 = -44
нет решений.

Answer 2

Для решения уравнения \(3\sin^2x - 4\sin x \cos x + 5\cos^2x = 0\), давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Уравнение имеет вид \(A\sin^2x + B\sin x \cos x + C\cos^2x = 0\), где \(A = 3\), \(B = -4\), и \(C = 5\).

Заметим, что это уравнение может быть записано как: \[ A\sin^2x + (B + C)\sin x \cos x + C\cos^2x = 0 \]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\). Мы можем заменить \(\sin x \cos x\) на \(\frac{1}{2}\sin 2x\):

\[ A\sin^2x + (B + C)\sin x \cos x + C\cos^2x = A\sin^2x + (B + C) \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + C\cos^2x \]

Теперь используем тождество \(\sin^2x + \cos^2x = 1\) и заменим \(\cos^2x\) на \(1 - \sin^2x\):

\[ A\sin^2x + (B + C) \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + C(1 - \sin^2x) = 0 \]

Умножим все члены на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ 2A\sin^2x + (B + C)\sin 2x + 2C(1 - \sin^2x) = 0 \]

Теперь раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ 2A\sin^2x + (B + C)\sin 2x + 2C - 2C\sin^2x = 0 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ (2A - 2C)\sin^2x + (B + C)\sin 2x + 2C = 0 \]

Теперь подставим значения \(A\), \(B\), и \(C\):

\[ (6 - 10)\sin^2x + (-4 + 5)\sin 2x + 10 = 0 \]

\[ -4\sin^2x + \sin 2x + 10 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Давайте решим его.

\[ -4\sin^2x + \sin 2x + 10 = 0 \]

Положим \(\sin x = t\), тогда у нас будет:

\[ -4t^2 + 2t + 10 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(t\). Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию.

Решив уравнение, найдем значения \(t\), а затем подставим их обратно для нахождения значений \(\sin x\). Важно учесть, что углы синуса ограничены от -1 до 1.

После нахождения корней, вы можете использовать обратные тригонометрические функции, такие как \(\arcsin\), чтобы получить значения углов \(x\).

Уточню, что процесс решения уравнений может быть сложным, и в некоторых случаях решение может быть представлено в более сложной форме или в виде углов, зависящих от параметра.