Question

1 + sin^2x + cosx = 0

Answer 1

1 + sin²x + cosx = 0
sin²x = 1-cos²x
1 + 1-cos²x + cosx = 0
cos²x - cosx - 2 = 0    заменим cosx на t , cosx = t , t ∈ [-1;1]
t² - t - 2 = 0  решаем квадратное уравнение
t1 = (1 - √9) / (2∙1) = -1
t2 = (1 + √9) / (2∙1) = 2 не подходит 2 ∉  [-1;1]
t = -1
cosx = t
cosx = -1
x = π + 2πk, k ∈ Z

Answer 2

Да, конечно! Давай решим уравнение \(1 + \sin^2(x) + \cos(x) = 0\).

Сначала давайте перепишем его в более удобной форме. Мы знаем, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) для любого угла \(x\). Так что можем заменить \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\):

\[1 + (1 - \cos^2(x)) + \cos(x) = 0.\]

Теперь объединим подобные члены:

\[2 - \cos^2(x) + \cos(x) = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Давайте решим его. Представим уравнение в виде \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = -1\), \(b = 1\), и \(c = 2\):

\[-\cos^2(x) + \cos(x) + 2 = 0.\]

Теперь воспользуемся квадратным уравнением. Формула для корней выглядит так:

\[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Подставим значения \(a\), \(b\), и \(c\):

\[\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)(2)}}{2(-1)}.\]

Упростим выражение:

\[\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{-2}.\]

\[\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{-2}.\]

Теперь у нас два решения:

1. \(\cos(x) = \frac{-1 + 3}{-2} = 1.\) 2. \(\cos(x) = \frac{-1 - 3}{-2} = 2.\)

Однако, косинус угла не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому второе решение не подходит. Так что у нас есть одно решение: \(\cos(x) = 1\). Это значит, что угол \(x\) равен \(0\):

\[x = \arccos(1) = 0.\]

Таким образом, уравнение \(1 + \sin^2(x) + \cos(x) = 0\) имеет единственное решение \(x = 0\).