Question

Помогите пожалуйста решить уравнение n!/(n+2)!+(n+1)!/(n+3)!=1/4

Answer 1

N!/(n+2)!+(n+1)!/(n+3)!=1/4 ⇔n!/(n!(n+1)(n+2))+(n+1)!/((n+1)!(n+2)(n+3))=1/((n+1)(n+2))+1/((n+2)(n+3))=1/4. Заметим, что единственный натуральный корень - 1. Действительно, 1/(3*2)+1/(3*4)=3/12=1/4

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом. У вас дано уравнение:

\[ \frac{n!}{(n+2)!} + \frac{(n+1)!}{(n+3)!} = \frac{1}{4} \]

Для начала, упростим выражения в знаменателях:

\[ \frac{n!}{(n+2)!} = \frac{n!}{(n+2)(n+1)n!} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} \]

Аналогично для второго члена:

\[ \frac{(n+1)!}{(n+3)!} = \frac{(n+1)!}{(n+3)(n+2)(n+1)n!} = \frac{1}{(n+3)(n+2)} \]

Теперь подставим эти упрощенные значения обратно в исходное уравнение:

\[ \frac{1}{(n+2)(n+1)} + \frac{1}{(n+3)(n+2)} = \frac{1}{4} \]

Теперь найдем общий знаменатель и объединим дроби:

\[ \frac{(n+3)(n+2) + (n+2)(n+1)}{(n+2)(n+1)(n+3)(n+2)} = \frac{1}{4} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{n^2 + 5n + 6 + n^2 + 3n + 2}{(n+2)(n+1)(n+3)(n+2)} = \frac{2n^2 + 8n + 8}{(n+2)(n+1)(n+3)(n+2)} = \frac{2(n^2 + 4n + 4)}{(n+2)(n+1)(n+3)(n+2)} \]

Теперь упростим числитель:

\[ \frac{2(n+2)^2}{(n+2)(n+1)(n+3)(n+2)} \]

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

\[ \frac{2(n+2)}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{4} \]

Теперь у нас есть уравнение без факториалов. Умножим обе стороны на знаменатель в левой дроби, чтобы избавиться от дроби:

\[ 2(n+2) = \frac{(n+1)(n+3)}{4} \]

Раскроем скобки в числителе справа:

\[ 2(n+2) = \frac{n^2 + 4n + 3}{4} \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ 8(n+2) = n^2 + 4n + 3 \]

Раскроем скобки:

\[ 8n + 16 = n^2 + 4n + 3 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ n^2 - 4n - 13 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -13\). Вычислим \(D\):

\[ D = (-4)^2 - 4(1)(-13) = 16 + 52 = 68 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ n = \frac{4 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 2 \pm \sqrt{17} \]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(n = 2 + \sqrt{17}\) и \(n = 2 - \sqrt{17}\).