Question

Разложите на множители x^12-2x^6+1

Answer 1

$x^{12}-2x^6+1=(x^6-1)^2=((x^3-1)(x^3+1))^2$$=((x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1))^2$$=(x-1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2(x^2+x+1)^2$

Answer 2

Давайте разложим выражение \(x^{12} - 2x^6 + 1\) на множители методом замены переменной.

Обозначим \(y = x^6\). Тогда наше выражение можно переписать в виде квадратного трёхчлена:

\[y^2 - 2y + 1\]

Это уже трином, который можно легко разложить на множители как квадрат полного квадрата:

\[(y - 1)^2\]

Теперь вернемся к нашей замене переменной \(y = x^6\):

\[(x^6 - 1)^2\]

Это уравнение может быть разложено дальше, так как это квадрат разности. Вспомним формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Применим эту формулу, где \(a = x^6\) и \(b = 1\):

\[(x^6 - 1)^2 = (x^6 - 1)(x^6 + 1)\]

Это и будет разложением исходного выражения \(x^{12} - 2x^6 + 1\) на множители:

\[x^{12} - 2x^6 + 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1)\]