Question

При каких x неравенство (3ах-2х^2)/(x-a)>0 выполняется при любом а

Answer 1

При x<0 это можно выудить из 2x^2

Answer 2

Чтобы найти условия, при которых неравенство \(\frac{{3ax - 2x^2}}{{x - a}} > 0\) выполняется для любого \(a\), давайте проанализируем выражение. Сначала упростим числитель и знаменатель:

\[ \frac{{3ax - 2x^2}}{{x - a}} = \frac{{x(3a - 2x)}}{{x - a}} \]

Теперь рассмотрим знак этой дроби. Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, или если оба равны нулю.

1. Числитель \(x(3a - 2x)\): - Если \(x = 0\), то числитель равен нулю. - Если \(3a - 2x = 0\), то \(x = \frac{{3a}}{2}\).

2. Знаменатель \((x - a)\): - Если \(x = a\), то знаменатель равен нулю.

Теперь рассмотрим все возможные случаи:

- Случай 1: \(x < 0\). - Числитель положителен, так как \(3a - 2x > 0\) при \(x < 0\). - Знаменатель отрицателен (\(x - a < 0\)). - Таким образом, дробь положительна при \(x < 0\), но не удовлетворяет условиям \(x = a\) или \(x = \frac{{3a}}{2}\).

- Случай 2: \(0 < x < \frac{{3a}}{2}\). - Числитель положителен, так как \(3a - 2x > 0\) при \(0 < x < \frac{{3a}}{2}\). - Знаменатель положителен (\(x - a > 0\)). - Таким образом, дробь положительна при \(0 < x < \frac{{3a}}{2}\), и не удовлетворяет условию \(x = a\).

- Случай 3: \(x = \frac{{3a}}{2}\). - Числитель равен нулю, и знаменатель также равен нулю. Однако, в данном случае, нам нужно исключить этот случай из обсуждения, так как знаменатель становится нулем, что делает исходное выражение неопределённым.

- Случай 4: \(x > \frac{{3a}}{2}\). - Числитель отрицателен, так как \(3a - 2x < 0\) при \(x > \frac{{3a}}{2}\). - Знаменатель отрицателен (\(x - a > 0\)). - Таким образом, дробь положительна при \(x > \frac{{3a}}{2}\) и не удовлетворяет условию \(x = a\).

Итак, условия для выполнения неравенства \(\frac{{3ax - 2x^2}}{{x - a}} > 0\) при любом \(a\) следующие:

- \(x < 0\) (но не \(x = a\)) - \(0 < x < \frac{{3a}}{2}\) (исключая \(x = a\)) - \(x > \frac{{3a}}{2}\) (но не \(x = a\))

Учтите, что в данном анализе пропущен случай \(x = a\), так как в этом случае знаменатель обращается в ноль, что делает всю дробь неопределённой.