Question

Найти производную 3^x * log3x 3 внизу под логорифмом

Answer 1

$(3^x*log_3x)'=3^x*ln3*log_3x+3^x*\frac{1}{x*ln \ 3}=3^x(ln3*\frac{lnx}{ln3}+\frac{1}{x*ln3})=\\ =3^x(ln \ x+\frac{1}{x*ln3})$

Answer 2

Чтобы найти производную функции \(3^x \cdot \log_3(x+3)\), нужно использовать правила дифференцирования для произведения и сложной функции. Давайте разберемся шаг за шагом.

Обозначим вашу функцию как \(y = 3^x \cdot \log_3(x+3)\).

1. Производная произведения: \[ (uv)' = u'v + uv' \]

Где \(u = 3^x\) и \(v = \log_3(x+3)\).

Производная первой функции \(u = 3^x\) по переменной \(x\) равна \(\ln(3) \cdot 3^x\), а производная второй функции \(v = \log_3(x+3)\) равна \(\frac{1}{\ln(3)(x+3)}\).

Теперь применяем формулу производной произведения:

\[ (3^x \cdot \log_3(x+3))' = (3^x)' \cdot \log_3(x+3) + 3^x \cdot (\log_3(x+3))' \]

Подставляем производные:

\[ = \ln(3) \cdot 3^x \cdot \log_3(x+3) + 3^x \cdot \frac{1}{\ln(3)(x+3)} \]

2. Производная \(3^x\):

Производная \(a^x\) по \(x\) равна \(\ln(a) \cdot a^x\). В данном случае \(a = 3\), поэтому производная \(3^x\) равна \(\ln(3) \cdot 3^x\).

3. Производная \(\log_3(x+3)\):

Производная \(\log_3(x+3)\) равна \(\frac{1}{\ln(3)(x+3)}\).

4. Итог:

Собираем все вместе:

\[ (3^x \cdot \log_3(x+3))' = \ln(3) \cdot 3^x \cdot \log_3(x+3) + \frac{3^x}{\ln(3)(x+3)} \]

Таким образом, производная функции \(3^x \cdot \log_3(x+3)\) по переменной \(x\) равна \(\ln(3) \cdot 3^x \cdot \log_3(x+3) + \frac{3^x}{\ln(3)(x+3)}\).