Question

Помогите, пожалуйста. Решите систему уравнений. 2у - х = 7, х^2 - xy - y^2 = 20.

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Конечно, я помогу! Есть два уравнения:

1. \(2y - x = 7\) 2. \(x^2 - xy - y^2 = 20\)

Давайте решим эту систему уравнений. Для начала, можем выразить \(x\) из первого уравнения в терминах \(y\):

\(x = 2y - 7\)

Теперь подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение:

\((2y - 7)^2 - (2y - 7)y - y^2 = 20\)

Развернем квадрат и упростим уравнение:

\(4y^2 - 28y + 49 - 2y^2 + 7y - y^2 = 20\)

Сгруппируем похожие члены и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

\(-y^2 - 14y + 49 = 20\)

Перенесем все члены в одну сторону:

\(-y^2 - 14y + 49 - 20 = 0\)

\(-y^2 - 14y + 29 = 0\)

Теперь найдем корни этого уравнения. Для этого можно воспользоваться квадратным уравнением \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = -1\), \(b = -14\), и \(c = 29\).

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

\(D = (-14)^2 - 4*(-1)*29 = 196 - (-116) = 196 + 116 = 312\)

Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Выразим их используя формулу квадратного корня:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[y = \frac{14 \pm \sqrt{312}}{-2}\]

\[y = \frac{14 \pm 2\sqrt{39}}{-2}\]

Таким образом, получаем два значения \(y\):

\[y_1 = 7 + \sqrt{39}\] \[y_2 = 7 - \sqrt{39}\]

Теперь, найдем соответствующие значения \(x\) для каждого из \(y\), используя выражение \(x = 2y - 7\):

\[x_1 = 2(7 + \sqrt{39}) - 7 = 14 + 2\sqrt{39} - 7 = 7 + 2\sqrt{39}\] \[x_2 = 2(7 - \sqrt{39}) - 7 = 14 - 2\sqrt{39} - 7 = 7 - 2\sqrt{39}\]

Таким образом, у нас есть две пары решений для \(x\) и \(y\):

1. \(x_1 = 7 + 2\sqrt{39}\), \(y_1 = 7 + \sqrt{39}\) 2. \(x_2 = 7 - 2\sqrt{39}\), \(y_2 = 7 - \sqrt{39}\)