Question

найти площадь фигуры, ограниченной линиями:y=3x^2+15x+30 и y=6-3x

Answer 1

Для нахождения пределов интегрирования найдем точки пересечения параболы и прямой: 
$3 x^{2} +15x+30=6-3x \\ 3 x^{2} +18x+24=0 \\ x^{2}+6x+8=0 \\ x_{1} =-4, x_{2} =-2 S= \int\limits^{-2}_{-4}(6-3x-(3 x^{2} +15x+30)) \, dx = \int\limits^{-2}_{-4} {(-3 x^{2} -18x-24)} \, dx \\ -3( \frac{ x^{3} }{3} +6 \frac{ x^{2} }{2}+8x)| _{-4} ^{-2} =-3( -\frac{8}{3} +12-16+ \frac{64}{3} -48+32)= \\ 60-56=4$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, сначала нужно найти точки их пересечения. Будем искать точки пересечения уравнений y = 3x^2 + 15x + 30 и y = 6 - 3x.

Для этого приравняем оба уравнения друг к другу: 3x^2 + 15x + 30 = 6 - 3x.

Теперь приведем уравнение к квадратному виду: 3x^2 + 15x + 3x + 30 - 6 = 0, 3x^2 + 18x + 24 = 0.

Разделим оба члена уравнения на 3: x^2 + 6x + 8 = 0.

Теперь разложим квадратное уравнение на множители, применив метод группировки: (x + 2)(x + 4) = 0.

Таким образом, у нас получилось две точки пересечения: x = -2 и x = -4.

Теперь подставим найденные значения x в одно из уравнений для нахождения соответствующих y-координат:

При x = -2, получим: y = 3(-2)^2 + 15(-2) + 30, y = 12 - 30 + 30, y = 12.

При x = -4, получим: y = 3(-4)^2 + 15(-4) + 30, y = 48 - 60 + 30, y = 18.

Итак, получаем две точки пересечения: (-2, 12) и (-4, 18).

Теперь нарисуем графики обоих функций и область, ограниченную ими:

График функции y = 3x^2 + 15x + 30 (красный) имеет форму параболы, которая открывается вверх из вершины (-2.5, 17.5):

_______ ______ __/ _|____/ /| / | _/ |_

График функции y = 6 - 3x (синий) — прямая, проходящая через точку (0, 6):

______ ___/ /| / | / |_

Область, ограниченная двумя графиками, будет находиться между этими двумя кривыми и ограничена также осями x и y. Вычислим площадь этой фигуры.

Для этого мы можем вычислить интеграл от разности этих двух функций, от x = -4 до x = -2:

S = ∫ [y = 3x^2 + 15x + 30 - (6 - 3x)] dx, от x = -4 до x = -2

S = ∫ [3x^2 + 15x + 30 - 6 + 3x] dx, от x = -4 до x = -2

S = ∫ [3x^2 + 18x + 24] dx, от x = -4 до x = -2

S = [x^3 + 9x^2 + 24x] от x = -4 до x = -2

S = [(-2)^3 + 9(-2)^2 + 24(-2)] - [(-4)^3 + 9(-4)^2 + 24(-4)]

S = [(-8) + 36 - 48] - [(-64) + 144 - 96]

S = [-20] - [-16]

S = -20 + 16

S = -4

Получаем площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, равную -4 единицы квадратные.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 3x^2 + 15x + 30 и y = 6 - 3x, равна -4 единицы квадратные.