Question

известно,что a+b-c= α и ab-ac-bc=β.выразите через α и β выражение a*a+b*b+c*c(a*a;b*b;c*c-это обозначения квадратов)

Answer 1

Обозначим a+b=d, тогда a+b+c=12,  d+c=12, возведем в квадрат: d^2 + 2dc + c^2=144, теперь заменим d на (a+b)^  (a+b)^2 + 2c(a+b) + c^2 = 144,a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = 144,  (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab+ac+bc)=144,(a^2 + b^2 + c^2) +2*72=144,  a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 144 = 0 

Answer 2

Изначально даны два уравнения: 1. a + b - c = α 2. ab - ac - bc = β

Требуется выразить a^2 + b^2 + c^2 через α и β.

Рассмотрим выражение (a + b - c)^2: (a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc

Также рассмотрим выражение (ab - ac - bc)^2: (ab - ac - bc)^2 = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - 2ab^2c + 2abc^2 + 2a^2bc

Вычтем второе выражение из первого: (a + b - c)^2 - (ab - ac - bc)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc) - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - 2ab^2c + 2abc^2 + 2a^2bc)

Раскроем скобки: a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + 2ab^2c - 2abc^2 - 2a^2bc

Заметим, что в данном выражении есть несколько членов, которые равны нулю: 2ab - 2ac = 2a(b - c) = 0, так как a + b - c = α (из первого уравнения) 2ab^2c - 2abc^2 = 2abc(b - c) = 0, так как ab - ac - bc = β (из второго уравнения) Таким образом, получаем: a^2 + b^2 + c^2 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 - 2a^2bc = α^2 - β

Итоговое выражение для a^2 + b^2 + c^2: a^2 + b^2 + c^2 = α^2 - β + a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2a^2bc

Ответ: a^2 + b^2 + c^2 = α^2 - β + a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2a^2bc.