Question

Решите пожалуйста cos2x=1-sin2x

Answer 1

Cos2x=1-sin2x;
cos²x-sin²x=cos²x+sin²x-2sinxcosx;
2sin²x-2sinxcosx=0⇒
sin²x/cos²x-sinxcosx/cos²x=0;cos²x≠0;
tg²x-tgx=0⇒
tgx(tgx-1)=0
tgx=0⇒x=kπ;k∈Z;
tgx=1⇒x=π/4+kπ;k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) = 1 - sin(2x), мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства синуса и косинуса. Давайте решим его шаг за шагом:

1. Используя тригонометрическое тождество cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), мы можем заменить cos(2x) в уравнении:

cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - sin(2x)

2. Мы также можем заменить sin(2x) с помощью тригонометрического тождества sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin(x)cos(x)

3. Теперь давайте сделаем замену: пусть u = sin(x), тогда cos(x) = sqrt(1 - u^2). Мы можем заменить sin(x) и cos(x) в уравнении:

(1 - u^2) - u^2 = 1 - 2u*sqrt(1 - u^2)

4. Упростим выражение:

1 - 2u^2 = 1 - 2u*sqrt(1 - u^2)

5. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

2u^2 - 2u*sqrt(1 - u^2) = 0

6. Факторизуем левую часть уравнения:

2u(u - sqrt(1 - u^2)) = 0

7. Получаем два возможных решения:

a) u = 0 b) u - sqrt(1 - u^2) = 0

8. Для решения b) уравнения, возведем обе части в квадрат:

u^2 - 2u*sqrt(1 - u^2) + (1 - u^2) = 0

9. Упростим выражение:

-2u*sqrt(1 - u^2) = -1

10. Возведем обе части в квадрат снова:

4u^2(1 - u^2) = 1

11. Раскроем скобки:

4u^2 - 4u^4 = 1

12. Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

4u^4 - 4u^2 + 1 = 0

13. Это квадратное уравнение относительно u^2. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-4)^2 - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0

14. Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет одно решение:

u^2 = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 4) = 1/2

15. Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

u = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2

16. Мы нашли значение u. Теперь давайте найдем значения sin(x) и cos(x) с помощью обратных тригонометрических функций:

sin(x) = sqrt(2)/2 cos(x) = sqrt(1 - (sqrt(2)/2)^2) = sqrt(1 - 1/2) = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2

17. Таким образом, решение уравнения cos(2x) = 1 - sin(2x) состоит из двух значений x:

a) x = arcsin(sqrt(2)/2) b) x = arccos(sqrt(2)/2)

Обратите внимание, что в ответе используются обратные тригонометрические функции arcsin и arccos, которые возвращают значения углов в радианах.