Question

M^3+m^2+5m+5>=0 если m>=-1

Answer 1

$m^3+m^2+5m+5 \geq 0 \\ m^2(m+1)+5(m+1) \geq 0 \\ (m+1)(m^2+5) \geq 0 \\ \\ m^2+5\ \textgreater \ 0$
при любом m

$m+1 \geq 0 \\ m \geq -1$

Ответ: $m \geq -1$

Answer 2

Давайте решим неравенство \(M^3 + m^2 + 5m + 5 \geq 0\) при условии \(m \geq -1\).

Сначала выразим неравенство в виде произведения множителей, если это возможно. Затем определим знак каждого множителя для различных интервалов значений переменных.

Итак, у нас есть неравенство:

\[M^3 + m^2 + 5m + 5 \geq 0\]

Это не выражается в виде произведения линейных множителей, поэтому мы будем использовать метод квадратного трехчлена.

Рассмотрим квадратное уравнение относительно переменной \(m\):

\[m^2 + 5m + 5\]

Для нахождения корней уравнения, мы можем использовать дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac\]

где у нас уравнение \(am^2 + bm + c = 0\). В данном случае \(a = 1\), \(b = 5\), и \(c = 5\).

\[D = 5^2 - 4(1)(5) = 25 - 20 = 5\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

\[m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[m_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, корни уравнения \(m^2 + 5m + 5 = 0\) выражаются как:

\[m_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}\] \[m_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}\]

Теперь мы можем определить знаки множителей. Поскольку нам дано, что \(m \geq -1\), мы рассматриваем только корень \(m_1\), так как \(m_2\) меньше -1.

\[m_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}\]

Теперь разберемся с множителями:

1. \(M\): Этот множитель не имеет значения знака в данном неравенстве. 2. \(m - m_1\): Если \(m \geq -1\), то \(m - m_1\) будет отрицательным, так как \(m_1\) больше -1. 3. \(m - m_2\): Мы не рассматриваем \(m_2\) в данном случае, так как \(m_2 < -1\). 4. \(M + m_1\): Этот множитель также не имеет значения знака в данном неравенстве.

Теперь определим знаки множителей в различных интервалах:

1. \(-\infty < m < m_1\): В этом интервале все множители будут отрицательными, так что их произведение положительно. 2. \(m_1 < m < +\infty\): В этом интервале \(m - m_1\) становится положительным, а остальные множители остаются отрицательными, поэтому произведение отрицательно. 3. \(m = m_1\): В точке \(m = m_1\) неравенство обращается в равенство. 4. \(m < -1\): В этом интервале \(m - m_1\) положительный, а остальные множители отрицательны, поэтому произведение положительно.

Итак, решение неравенства \(M^3 + m^2 + 5m + 5 \geq 0\) при \(m \geq -1\) выглядит следующим образом:

\[m \in (-\infty, m_1) \cup [-1, +\infty)\]

где \(m_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}\).