Question

Укажите одно положит. решение неравенства cos^2 x/2-sin^2 x/2 больше -1/2

Answer 1

Cos²(x/2)-sin²(x/2)=sin(π/2-2x) 
cosx=cos2x 
cosx=2cos²x-1 
2cos²x-cosx-1=0 
cosx=y;2y²-y-1=0;y₁=1;y₂=-½ 
1) cosx=1 
x=2πn,n∈Z 
2) cosx=-½ 
x=±2π/3+2πk,k∈Z.
Вроде так.

Answer 2

Начнем с данного неравенства:

cos^2(x/2) - sin^2(x/2) > -1/2

Заметим, что cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = cos(x) и упростим неравенство:

cos(x) > -1/2

Так как cos(x) принимает значения от -1 до 1, включительно, нам нужно найти интервалы значений, в которых cos(x) больше -1/2.

На графике функции cos(x) мы видим, что значения функции больше -1/2 на интервалах от -π/3 до 0 и от 0 до π/3, а также на всех интервалах, симметричных относительно x-оси.

Таким образом, положительные решения данного неравенства имеют вид:

x ε (-π/3 + 2πn, 0 + 2πn) U (0 + 2πn, π/3 + 2πn), где n - любое целое число.

Отрицательные решения будут иметь вид:

x ε (-π/3 + 2πn, 0 + 2πn) U (0 + 2πn, π/3 + 2πn), где n - любое целое число, с добавлением π для каждого интервала.

Таким образом, положительные решения: (-π/3, 0), (0, π/3), (4π/3, 5π/3), ...

Отрицательные решения: (-π, -π/3), (-π/3, 0), (π, π/3), (π/3, 2π/3), ...

Это все интервалы, на которых cos(x) больше -1/2 или, иначе говоря, решения неравенства cos^2(x/2) - sin^2(x/2) > -1/2.