Question

F (x) = 3x^4+4x^3-1 Нужно найти промежутки монотонности функции

Answer 1

1) f`(x)=(3x^4+4x^3-1)`=12x^3+12x^2
2) f`(x)≥0
12x^3+12x^2≥0 метод интервалов
x^3+x^2≥0
x^2(x+1)≥0
x=0 x=-1
f`(x)   -    -1   +     0 +
f(x)  убывает на промежутке (-00,-1], возрастает на [-1,+00)

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки монотонности функции \(F(x) = 3x^4 + 4x^3 - 1\), нужно проанализировать производные функции и точки их изменения.

Шаги:

1. Найдем производную функции \(F(x)\):

\[F'(x) = \frac{d}{dx} (3x^4 + 4x^3 - 1)\]

2. Выразим производную:

\[F'(x) = 12x^3 + 12x^2\]

3. Найдем критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует):

\[12x^3 + 12x^2 = 0\]

4. Решим уравнение \(12x^2(x + 1) = 0\):

Из этого уравнения получаем два решения: - \(x = 0\) - \(x = -1\)

5. Проверим интервалы между критическими точками:

- Выберем точку в каждом из интервалов между \(x = -\infty\) и \(x = -1\), между \(x = -1\) и \(x = 0\), и между \(x = 0\) и \(x = +\infty\). - Проверим знак производной в этих точках, чтобы определить монотонность функции на соответствующих интервалах.

6. Подставим, например, \(x = -2\), \(-\frac{1}{2}\), \(1\) в \(F'(x)\) для каждого интервала:

- При \(x = -2\), \(F'(-2) = 12(-2)^3 + 12(-2)^2 = -96 + 48 = -48\) (отрицательно) - При \(x = -\frac{1}{2}\), \(F'(-\frac{1}{2}) = 12(-\frac{1}{2})^3 + 12(-\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{2}\) (отрицательно) - При \(x = 1\), \(F'(1) = 12(1)^3 + 12(1)^2 = 24\) (положительно)

7. Сделаем выводы:

- Между \(-\infty\) и \(-1\) производная отрицательна, значит, функция убывает. - Между \(-1\) и \(0\) производная также отрицательна, следовательно, функция продолжает убывать. - Между \(0\) и \(+\infty\) производная положительна, значит, функция возрастает.

Итак, промежутки монотонности:

- Функция \(F(x)\) убывает на интервалах \((-\infty, -1)\) и \((-1, 0)\). - Функция \(F(x)\) возрастает на интервале \((0, +\infty)\).