Question

30б. помогите алгебра

Answer 1

Область определения x > 0, x =/= 1/3 (основание √(3x) =/= 1)
У логарифмов есть такое замечательное свойство:
$log_a(b)= \frac{log_c(b)}{log_c(a)}$
Причем новое основание с может быть каким угодно, c > 0, c =/= 1
Можно, например, взять десятичные логарифмы.
$( \frac{lg(x^2)}{lg(3)} )^2- \frac{lg(9x^2)}{lg( \sqrt{3} )} - \frac{lg(x)}{lg( \sqrt{3x} )} +3=0$
$( \frac{2lg(x)}{lg(3)} )^2- \frac{2lg(3x)}{1/2*lg(3 )} - \frac{lg(x)}{1/2*lg(3x)} +3=0$
$\frac{4lg^2(x)}{lg^2(3)}- \frac{4(lg(3)+lg(x))}{lg(3 )} - \frac{2lg(x)}{lg(3)+lg(x)} +3=0$
Замена lg(x) = y. Умножаем всё на lg^2(3)*(lg(3) + lg(x))
4y^2*(y + lg(3)) - 4lg(3)*(lg(3)+y)^2 - 2y*lg^2(3) + 3lg^2(3)*(lg(3) + y) = 0
4y^3 + 4lg(3)*y^2 - 4lg(3)*(lg^2(3)+2lg(3)*y+y^2) + 3lg^3(3) + 3lg^2(3)*y = 0
4y^3+4lg(3)*y^2-4lg^3(3)-8lg^2(3)*y-4lg(3)*y^2+3lg^3(3)+3lg^2(3)*y = 0
4y^3 - 5lg^2(3)*y - lg^3(3) = 0
4y^3 + 4lg(3)*y^2 - 4lg(3)y^2 - 4lg^2(3)*y - lg^2(3)*y - lg^3(3) = 0
(y + lg(3))(4y^2 - 4lg(3)*y - lg^2(3)) = 0
y1 = lg(x) = -lg(3) = lg(1/3); x1 = 1/3 ∉ [∛5; 5]
4y^2 - 4lg(3)*y - lg^2(3) = 0
D/4 = (2lg(3))^2 + 4lg^2(3) = 8lg^2(3) = (2lg(3)*√2)^2
y2 = lg(x) = (2lg(3) - 2lg(3)*√2)/4 = (1-√2)/2*lg(3) = lg[3^((1-√2)/2)];
x2 = 3^((1-√2)/2) ~ 0,8 ∉ [∛5; 5]
y3 = lg(x) = (2lg(3) + 2lg(3)*√2)/4 = (1+√2)/2*lg(3) = lg[3^((1+√2)/2)];
x3 = 3^((1+√2)/2) ∈ [∛5; 5]
Ответ: x = 3^((1+√2)/2)