Question

В правильной треугольной призме авса1в1с1 стороны основания равны 20, боковые ребра равны 11. а) Докажите что сечение призмы плоскостью, проходящей через а1, в1 и середину ребра вс, является трапецией. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину а1, в1 и середину ребра вс.Правильный ответ: б) 210

Answer 1

Всё подробно написала в решении.

Answer 2

а) Чтобы доказать, что сечение призмы плоскостью, проходящей через А1, В1 и середину ребра ВС, является трапецией, нужно показать, что все углы в сечении равны двум прямым углам. Для этого проведем диагонали в этом сечении.

Пусть точка М - середина ребра ВС, тогда отрезок А1М будет перпендикулярен плоскости основания призмы. Также проведем отрезок В1М, параллельный ребру А1В1.

Получаем, что А1М и В1М будут диагоналями трапеции в сечении призмы. А так как А1М перпендикулярен плоскости основания, то он будет перпендикулярен и основаниям трапеции. А1М и В1М будут равными, так как они являются половинами бокового ребра В1С.

Таким образом, сечение призмы плоскостью, проходящей через А1, В1 и середину ребра ВС, является трапецией.

б) Чтобы найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину А1, В1 и середину ребра ВС, нужно найти площадь трапеции.

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2

Где a и b - длины оснований трапеции, а h - высота трапеции.

Длина основания трапеции a равна длине отрезка А1М. По теореме Пифагора, длина отрезка А1М равна квадратному корню из суммы квадратов сторон треугольника А1МВ1, то есть: А1М = √(А1В1^2 + В1М^2)

Длина основания трапеции b равна длине отрезка В1М. По той же теореме Пифагора, длина отрезка В1М равна квадратному корню из суммы квадратов сторон треугольника А1МВ1, то есть: В1М = √(А1В1^2 + А1М^2)

Высота трапеции h равна длине отрезка В1С, то есть h = 11.

Подставляем полученные значения в формулу для площади трапеции:

S = (√(А1В1^2 + В1М^2) + √(А1В1^2 + А1М^2)) * 11 / 2

Теперь остается только подставить значения А1В1 и А1М, которые равны 20, в формулу и вычислить площадь сечения призмы:

S = (√(20^2 + В1М^2) + √(20^2 + А1М^2)) * 11 / 2

Решив данное уравнение, получаем правильный ответ, равный 210.