Question

Решите пожалуйста логарифмическое уравнение. lg x - x + xlg x - 1 = 0

Answer 1

Lgx(1+x)-(x+1)=0 ОДЗ: x>0
(x+1)(lgx-1)=0
x=-1 не подходит по ОДЗ
lgx-1=0
lgx=1
x=10

Answer 2

Для решения логарифмического уравнения \( \lg{x} - x + x\lg{x} - 1 = 0 \), давайте проведем несколько шагов.

Предположим, что \( \lg{x} = t \). Тогда уравнение примет следующий вид:

\[ t - x + xt - 1 = 0 \]

Теперь объединим похожие члены:

\[ xt - x + t - 1 = 0 \]

Факторизуем уравнение:

\[ x(t - 1) + (t - 1) = 0 \]

\[ (x + 1)(t - 1) = 0 \]

Теперь вернемся к исходной переменной:

\[ (x + 1)(\lg{x} - 1) = 0 \]

Теперь у нас есть два множителя, которые могут равняться нулю:

1. \( x + 1 = 0 \): отсюда получаем \( x = -1 \), но логарифм отрицательного числа не определен в области действительных чисел, поэтому это решение не подходит.

2. \( \lg{x} - 1 = 0 \): отсюда получаем \( \lg{x} = 1 \). Это эквивалентно \( x = 10 \), так как \( \lg{10} = 1 \).

Таким образом, единственным допустимым решением уравнения \( \lg{x} - x + x\lg{x} - 1 = 0 \) является \( x = 10 \).