Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной графиком функций у=х^2+2х+2, у=2х+3

Answer 1

Y=x²+2x+2    y=2x+3
x²+2x+2=2x+3
x²=1
x₁=-1     x₂=1
S=∫¹₋₁(2x+3-x²-2x-2)dx=∫¹₋₁(-x²+1)dx=(-x³/3+x) |¹₋₁=-1³/3+1-(-(-1)³/3)+(-1))=
=-1/3+1-1/3+1=1¹/₃≈1,333.
Ответ: S≈1,333 кв.ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком двух функций, нам необходимо найти точки пересечения этих функций и интегрировать разность функций между этими точками.

Для начала найдем точку пересечения двух функций, у = х^2 + 2х + 2 и у = 2х + 3. Чтобы найти точку пересечения, приравняем две функции друг к другу:

х^2 + 2х + 2 = 2х + 3

Перенесем все члены в левую сторону и получим уравнение:

х^2 + 2х - 2х - 1 = 0

х^2 - 1 = 0

Факторизуем это уравнение:

(х - 1)(х + 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: х = 1 и х = -1.

Теперь мы можем рассчитать площадь фигуры, ограниченной графиком этих функций, интегрируя разность функций между этими точками. Для этого нам нужно найти интеграл от (у - у) по переменной х от -1 до 1.

Площадь фигуры ограниченной графиком функций у = х^2 + 2х + 2 и у = 2х + 3 равна:

∫(у - у) dx, где x принадлежит от -1 до 1.

Интегрируя разность функций по переменной х от -1 до 1, получим:

∫(2х + 3 - (х^2 + 2х + 2)) dx, где x принадлежит от -1 до 1.

Раскроем скобки:

∫(2х + 3 - х^2 - 2х - 2) dx, где x принадлежит от -1 до 1.

Упростим выражение:

∫(-х^2 + х + 1) dx, где x принадлежит от -1 до 1.

Теперь проинтегрируем это выражение:

- ∫х^2 dx + ∫х dx + ∫1 dx, где x принадлежит от -1 до 1.

Посчитаем каждый интеграл по отдельности:

- (х^3 / 3) + (х^2 / 2) + х, где x принадлежит от -1 до 1.

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

(-1^3 / 3 + 1^2 / 2 + 1) - (-1^3 / 3 + (-1)^2 / 2 - 1).

Вычислим значения:

(-1 / 3 + 1 / 2 + 1) - (-1 / 3 + 1 / 2 - 1).

(-1 / 3 + 3 / 6 + 1) - (-1 / 3 + 1 / 2 - 1).

(-2 / 6 + 3 / 6 + 6 / 6) - (-2 / 6 + 3 / 6 - 6 / 6).

(7 / 6) - (-5 / 6).

7 / 6 + 5 / 6.

12 / 6.

2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функций у = х^2 + 2х + 2 и у = 2х + 3, равна 2.