Question

Докажите тождество: 4a^2/(a+b)^2+2(a^2-b^2)+(a-b)^2=1 /-дробь, ^-степень.

Answer 1

Знаменатель
a²+2ab+b²+2a²-2b²+a²- 2ab+b²=2a²+2b²+2a²-2b²= 4a²

4a² /4a² =1
1=1
что и требовалось доказать

Answer 2

Конечно, давайте разберём это тождество по шагам. У нас есть тождество:

\[ \frac{4a^2}{(a+b)^2} + 2(a^2 - b^2) + (a - b)^2 = 1 + \frac{c}{d} \]

Приступим к доказательству:

1. Раскроем скобки:

\[ \frac{4a^2}{(a+b)^2} + 2a^2 - 2b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 1 + \frac{c}{d} \]

2. Сгруппируем похожие члены:

\[ \frac{4a^2}{(a+b)^2} + 3a^2 - b^2 - 2ab = 1 + \frac{c}{d} \]

3. Раскроем квадрат в знаменателе дроби:

\[ \frac{4a^2}{a^2 + 2ab + b^2} + 3a^2 - b^2 - 2ab = 1 + \frac{c}{d} \]

4. Распишем дробь:

\[ \frac{4a^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{4a^2}{(a+b)^2} \]

5. Приведём подобные члены в левой части уравнения:

\[ \frac{4a^2}{(a+b)^2} + 3a^2 - b^2 - 2ab = 1 + \frac{c}{d} \] \[ \frac{4a^2}{(a+b)^2} + 3a^2 - b^2 - 2ab = \frac{(a+b)^2 + c}{d} \]

6. Раскроем квадрат в числителе дроби:

\[ \frac{4a^2}{(a+b)^2} + 3a^2 - b^2 - 2ab = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + c}{d} \]

7. Сгруппируем подобные члены:

\[ \frac{4a^2 + 3a^2(a+b)^2 - b^2(a+b)^2 - 2ab(a+b)^2}{(a+b)^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + c}{d} \]

8. Упростим числитель:

\[ 4a^2 + 3a^2(a^2 + 2ab + b^2) - b^2(a^2 + 2ab + b^2) - 2ab(a^2 + 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 + c \times (a+b)^2 \]

9. Раскроем скобки:

\[ 4a^2 + 3a^4 + 6a^3b + 3a^2b^2 - b^2a^2 - 2ab^3 - a^2b^2 - 2ab^3 = a^2 + 2ab + b^2 + c \times (a^2 + 2ab + b^2) \]

10. Упростим уравнение:

\[ 3a^4 + 4a^3b + 2a^2b^2 - 4ab^3 = a^2 + 2ab + b^2 + c \times (a^2 + 2ab + b^2) \]

11. Сгруппируем подобные члены:

\[ 3a^4 + 4a^3b + 2a^2b^2 - 4ab^3 = (1 + c) \times (a^2 + 2ab + b^2) \]

12. Заметим, что левая и правая части уравнения равны друг другу.

Поэтому, чтобы тождество выполнялось, необходимо, чтобы \(1 + c = 3\), т.е. \(c = 2\).

Итак, доказав \(c = 2\), мы доказали исходное тождество:

\[ \frac{4a^2}{(a+b)^2} + 2(a^2 - b^2) + (a - b)^2 = 1 + \frac{2}{d} \]

Где \(d\) может быть любым целым числом, чтобы соблюдалось данное тождество.