Question

x+y=-2, x^2-2xy+y^2=16 решите систему

Answer 1

Второе уравнение (x-y)^2 = 16

x-y=+-4

 

a) { x+y=-2, x-y=4 }

Складываем уравнения: 2x = -2; x = -1

y=x-4=-3

 

b) { x+y=-2, x-y=-4 }

x=-3; y=1

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений. У нас есть два уравнения:

1. \(x + y = -2\) 2. \(x^2 - 2xy + y^2 = 16\)

Мы можем воспользоваться первым уравнением, чтобы выразить одну переменную через другую и подставить это значение во второе уравнение.

Из первого уравнения получаем, что \(x = -2 - y\). Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\((-2 - y)^2 - 2(-2 - y)y + y^2 = 16\)

Раскрываем скобки:

\[4 + 4y + y^2 - 2(-2 - y)y + y^2 = 16\]

Упрощаем уравнение:

\[4 + 4y + y^2 + 4y + 2y^2 + y^2 = 16\]

Сгруппируем по переменным:

\[4y + 6y^2 + 2y^2 = 16 - 4\]

\[6y^2 + 4y + 2y^2 = 12\]

\[8y^2 + 4y - 12 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Разделим все коэффициенты на их наибольший общий делитель (2):

\[4y^2 + 2y - 6 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение вида \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = 2\), и \(c = -6\).

Дискриминант (\(\Delta\)) вычисляется как \(b^2 - 4ac\):

\[\Delta = 2^2 - 4(4)(-6) = 4 + 96 = 100\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня, которые могут быть найдены с использованием формулы квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

\[y = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2(4)}\]

\[y = \frac{-2 \pm 10}{8}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-2 + 10}{8} = \frac{8}{8} = 1\) 2. \(y_2 = \frac{-2 - 10}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}\)

Теперь, когда у нас есть значения для \(y\), мы можем использовать исходное уравнение \(x + y = -2\), чтобы найти соответствующие значения для \(x\):

1. Для \(y = 1\): \(x + 1 = -2\) \(x = -3\)

2. Для \(y = -\frac{3}{2}\): \(x - \frac{3}{2} = -2\) \(x = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, у нас есть две пары решений для системы уравнений:

1. \(x = -3, y = 1\) 2. \(x = -\frac{1}{2}, y = -\frac{3}{2}\)