Question

В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма всех её членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найти знаменатель прогрессии.

Answer 1

Решение смотри во вложении. Должно быть понятно.

Answer 2

Давайте обозначим знаменатель геометрической прогрессии через \(q\), а первый член прогрессии через \(a\). Также у нас есть информация о том, что в прогрессии четное количество членов.

Сумма всех членов геометрической прогрессии с четным числом членов выражается формулой: \[S_{\text{всех}} = \frac{a(q^n - 1)}{q - 1},\] где \(n\) - количество членов прогрессии.

Сумма членов, стоящих на нечетных местах, выражается как: \[S_{\text{нечет}} = a(q^0 + q^2 + \ldots + q^{2k-2}),\] где \(k\) - половина количества членов прогрессии (число членов прогрессии - четное).

Условие задачи утверждает, что сумма всех членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах: \[3S_{\text{нечет}} = S_{\text{всех}}.\]

Подставим формулы и решим уравнение:

\[3a(q^0 + q^2 + \ldots + q^{2k-2}) = \frac{a(q^n - 1)}{q - 1}.\]

Упростим уравнение, деля обе его части на \(a\) и убирая общий множитель \(q^{2k-2}\):

\[3(q^0 + q^2 + \ldots + q^{2k-2}) = \frac{q^n - 1}{q - 1}.\]

Теперь суммируем геометрическую прогрессию в левой части уравнения:

\[3(1 + q^2 + \ldots + q^{2k-2}) = \frac{q^n - 1}{q - 1}.\]

Используем формулу суммы геометрической прогрессии:

\[3\frac{q^{2k}-1}{q^2-1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}.\]

Далее упростим уравнение и решим его. Если нужна конкретная цифра для \(q\), то уточните условия задачи, так как здесь предоставлено общее решение.