Question

Докажите , что26 делится на на 19 при любом натуральном n

Answer 1

$\frac{26^n-7^n}{19}$ 
Здесь идея решение заключается в том что нужно заменять выражения (так как они в одинаковых степенях) на выражения эквивалентные по остаткам . 
$26=7\ mod 19\\ 26^2=11 \ mod 19\\ 26^3= 1 \ mod 19$ это запись означает что остатки равны 7 11 и 1 при делений чисел слева на 19  
$7=7 \ mod 19\\ 7^2=11 \ mod 19\\ 7^3=1 \ mod 19$ дальше все остатки повторяются , то есть оно делится так как 
$7-7=0\\ 11-11=0\\ 1-1=0$  
 

Answer 2

Чтобы доказать, что число 26 делится на 19 при любом натуральном n, нужно показать, что при любом значении n, результат деления 26 на 19 является целым числом без остатка.

Для этого можно использовать деление с остатком. Деление 26 на 19 дает остаток 7. То есть, при делении 26 на 19, мы получаем 1 целое число и остаток 7.

Теперь рассмотрим выражение 26n, где n - натуральное число. Если число 26 делится на 19 при любом натуральном n, то выражение 26n также должно делиться на 19 без остатка.

Предположим, что это не так, и остаток от деления 26n на 19 не равен нулю. Тогда мы можем записать 26n в виде 19k + r, где k - натуральное число, а r - остаток от деления 26n на 19.

Так как 26n = 19k + r, то мы можем выразить n в виде n = (19k + r) / 26.

Для того, чтобы выражение n было натуральным числом, остаток r должен быть равен нулю. То есть, (19k + r) должно быть кратно 26.

Однако мы уже установили, что остаток от деления 26 на 19 равен 7, а значит, (19k + 7) не делится на 26 без остатка при любом натуральном k.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о том, что остаток от деления 26n на 19 не равен нулю, неверно.

Следовательно, можно сделать вывод, что 26 делится на 19 при любом натуральном n.