Question

При каком значении x трёхчлен 2x^2-4x+6 принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Answer 1

f(x)= 2x^2-4x+6

f"(x)=2*2x-4=4x-4

4x-4=0

x=1

Answer 2

Чтобы найти значение x, при котором трехчлен \(2x^2 - 4x + 6\) принимает наименьшее значение, можно воспользоваться методом завершения квадрата (completing the square) или рассмотреть вершину параболы, заданной этим квадратичным выражением.

У нас есть квадратичная функция вида \(f(x) = 2x^2 - 4x + 6\), и её график представляет собой параболу, направленную вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положителен.

Квадратное выражение можно переписать в виде полного квадрата, добавив и вычитая половину коэффициента при \(x\), возведенного в квадрат. Формула для завершения квадрата выглядит так:

\[ax^2 + bx + c = a\left(x - \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)\]

Применяем эту формулу к нашему уравнению:

\[f(x) = 2x^2 - 4x + 6\]

\[= 2\left(x - \frac{-4}{2 \cdot 2}\right)^2 + \left(6 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 2}\right)\]

\[= 2\left(x + 1\right)^2 + 8\]

Теперь видим, что минимальное значение функции будет равно 8, и оно достигается при \(x = -1\).

Таким образом, минимальное значение функции \(2x^2 - 4x + 6\) равно 8 и достигается при \(x = -1\).